Question

【題目】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），分別以AB、BC為邊作等邊三角形ABE和等邊三角形BCD，連結(jié)CE，如圖1所示．

（1）直接寫出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；

（2）判斷DC與CE的位置關(guān)系，并加以證明；

（3）在（2）的條件下，連結(jié)DE，如圖2，若∠DEC=45°，求α的值．

Answer 1

【答案】（1）∠ABD=30°﹣∠α；（2）DC與CE垂直；見解析（3）∠α=30°．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB==90°﹣∠α，根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論；

（2）連接AD；根據(jù)已知條件得到∠ABD=∠EBC，推出△ABD≌△EBC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ADB=∠ECB，證得△ABD≌△ACD，由全等三角形的性質(zhì)得到∠BAD=∠CAD=∠α，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠BDA=180°﹣∠ABD﹣∠BAD=180°﹣（30°﹣∠α ）﹣∠α=150°，求得∠BCE=150°，即可得到結(jié)論．

（3）根據(jù)已知條件得到△DEC為等腰三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到DC=DE=BC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠EBC=15°，即可得到結(jié)論．

解：（1）∵AB=AC，∠A=∠α，

∴∠ABC=∠ACB=

=90°﹣∠α

∴∠ABD=∠ABC﹣∠ABE

=90°﹣∠α﹣60°

=30°﹣∠α；

（2）DC與CE垂直；

連接AD；

∵∠ABE=∠DBC=60°，

∴∠ABE﹣∠DBE=∠DBC﹣∠DBE，

即∠ABD=∠EBC，

在△ABD和△EBC中，

，

∴△ABD≌△EBC，

∴∠ADB=∠ECB，

在△ABD和△ACD中，

，

∴△ABD≌△ACD，

∴∠BAD=∠CAD=∠α，

∴∠BDA=180°﹣∠ABD﹣∠BAD=180°﹣（30°﹣∠α ）﹣∠α=150°，

∴∠BCE=150°，

∵∠BCD=60°，

∴∠DCE=90°，

即DC與CE垂直；

（3）∵∠DCE=90°，

又∵∠DEC=45°，

∴△DEC為等腰三角形，

∴DC=DE=BC，

∵∠BCE=150°，

∴∠EBC=15°，

∵∠EBC=30°﹣∠α=15°，

∴∠α=30°．