Question

（2010•鄂爾多斯）如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標系的矩形紙片，O為原點，點A在x軸上，點C在y軸上，OA=15，OC=9，在AB上取一點M，使得△CBM沿CM翻折后，點B落在x軸上，記作N點．
（1）求N點、M點的坐標；
（2）將拋物線y=x²-36向右平移a（0＜a＜10）個單位后，得到拋物線l，l經過點N，求拋物線l的解析式；
（3）①拋物線l的對稱軸上存在點P，使得P點到M、N兩點的距離之差最大，求P點的坐標；
②若點D是線段OC上的一個動點（不與O、C重合），過點D作DE∥OA交CN于E，設CD的長為m，△PDE的面積為S，求S與m之間的函數關系式，并說明S是否存在最大值？若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據折疊的性質知：BC=CN=OA，由此可在Rt△OCN中用勾股定理求出ON的長（由此可求出N點的坐標），即可得到NA的值；在Rt△AMN中，用AM表示出MN、BM的值，然后由勾股定理即可求出AM的長，也就得到了M點的坐標；
（2）用a表示出拋物線l的解析式，然后將N點坐標代入其中，即可求出拋物線l的解析式；
（3）①此題的關鍵是確定P點的位置，若PM-PN最大，那么P點必為直線MN與拋物線對稱軸的交點（可由三角形三邊關系定理推出），可用待定系數法求出直線MN的解析式，聯立拋物線的對稱軸方程，即可得到P點的坐標；
②由于DE∥ON，易證得△CDE∽△CON，根據相似三角形得到的比例線段即可求出DE的表達式，以DE為底，P、D縱坐標差的絕對值為高即可得到△DEP的面積，由此可求出關于S、m的函數關系式，根據所得函數的性質及自變量的取值范圍即可求出S的最大值及對應的m的值．
解答：解：如圖
（1）∵CN=CB=15，OC=9，
∴ON==12，
∴N（12，0）；
又∵AN=OA-ON=15-12=3，
設AM=x
∴3²+x²=（9-x）²
∴x=4，M（15，4）；

（2）解法一：設拋物線l為y=（x-a）²-36
則（12-a）²=36
∴a₁=6或a₂=18（舍去）
∴拋物線l：y=（x-6）²-36
解法二：
∵x²-36=0，
∴x₁=-6，x₂=6；
∴y=x²-36與x軸的交點為（-6，0）或（6，0）
由題意知，交點（6，0）向右平移6個單位到N點，
所以y=x²-36向右平移6個單位得到拋物線l：y=（x-6）²-36；

（3）①由“三角形任意兩邊的差小于第三邊”知：P點是直線MN與對稱軸x=6的交點，
設直線MN的解析式為y=kx+b，
則，
解得，
∴y=x-16，
∴P（6，-8）；
②∵DE∥OA，
∴△CDE∽△CON，
∴；
∴S=
∵a=-＜0，開口向下，又m=-
∴S有最大值，且S_最大=-．
點評：此題考查了勾股定理、二次函數解析式的確定、函數圖象的平移、圖形面積的求法、三角形三邊關系定理以及相似三角形的判定和性質，綜合性強，難度偏大．