Question

【題目】如圖1，在等邊△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，AD=AE，連接BE，CD，點M、N、P分別是BE、CD、BC的中點．

（1）觀察猜想：圖1中，△PMN的形狀是　 　；　

（2）探究證明：把△ADE繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置，△PMN的形狀是否發生改變？并說明理由；　

（3）拓展延伸：把△ADE繞點A在平面內自由旋轉，若AD=1，AB=3，請直接寫出△PMN的周長的最大值．

Answer 1

【答案】(1) 等邊三角形；(2) △PMN的形狀不發生改變，仍然為等邊三角形,理由見解析；（3）6

【解析】分析：（1）如圖1，先根據等邊三角形的性質得到AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，則BD=CE，再根據三角形中位線性質得PM∥CE，PM=CE，PN∥AD，PN=BD，從而得到PM=PN，∠MPN=60°，從而可判斷△PMN為等邊三角形；

（2）連接CE、BD，如圖2，先利用旋轉的定義，把△ABD繞點A逆時針旋轉60°可得到△CAE，則BD=CE，∠ABD=∠ACE，與（1）一樣可得PM=PN，∠BPM=∠BCE，∠CPN=∠CBD，則計算出∠BPM+∠CPN=120°，從而得到∠MPN=60°，于是可判斷△PMN為等邊三角形．

（3）利用AB﹣AD≤BD≤AB+AD（當且僅當點B、A、D共線時取等號）得到BD的最大值為4，則PN的最大值為2，然后可確定△PMN的周長的最大值．

詳解：（1）如圖1．

∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°．

∵AD=AE，∴BD=CE．

∵點M、N、P分別是BE、CD、BC的中點，

∴PM∥CE，PM=CE，PN∥AD，PN=BD，

∴PM=PN，∠BPM=∠BCA=60°，∠CPN=∠CBA=60°，

∴∠MPN=60°，∴△PMN為等邊三角形；

故答案為：等邊三角形；

（2）△PMN的形狀不發生改變，仍然為等邊三角形．理由如下：

連接CE、BD，如圖2．

∵AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=60°，

∴把△ABD繞點A逆時針旋轉60°可得到△CAE，

∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，

與（1）一樣可得PM∥CE，PM=CE，PN∥AD，PN=BD，

∴PM=PN，∠BPM=∠BCE，∠CPN=∠CBD，

∴∠BPM+∠CPN=∠CBD+∠CBD=∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE=60°+60°=120°，∴∠MPN=60°，∴△PMN為等邊三角形．

（3）∵PN=BD，∴當BD的值最大時，PN的值最大．

∵AB﹣AD≤BD≤AB+AD（當且僅當點B、A、D共線時取等號）

∴BD的最大值為1+3=4，∴PN的最大值為2，∴△PMN的周長的最大值為6．