Question

如圖，二次函數的圖象交x軸于A（﹣1，0），B（2，0），交y軸于C（0，﹣2），過A，C畫直線．
（1）求二次函數的解析式；
（2）點P在x軸正半軸上，且PA=PC，求OP的長；
（3）點M在二次函數圖象上，以M為圓心的圓與直線AC相切，切點為H．
①若M在y軸右側，且△CHM∽△AOC（點C與點A對應），求點M的坐標；
②若⊙M的半徑為 ，求點M的坐標．

Answer 1

（1）拋物線的解析式為y=x²﹣x﹣2；
（2）OP=；
（3）①M′（，），
②點M的坐標為（，3+）或（，3﹣）．

試題分析：（1）根據與x軸的兩個交點A、B的坐標，設出二次函數交點式解析式y=a（x+1）（x﹣2），然后把點C的坐標代入計算求出a的值，即可得到二次函數解析式；
（2）設OP=x，然后表示出PC、PA的長度，在Rt△POC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可；
（3）①根據相似三角形對應角相等可得∠MCH=∠CAO，然后分（i）點H在點C下方時，利用同位角相等，兩直線平行判定CM∥x軸，從而得到點M的縱坐標與點C的縱坐標相同，是﹣2，代入拋物線解析式計算即可；（ii）點H在點C上方時，根據（2）的結論，點M為直線PC與拋物線的另一交點，求出直線PC的解析式，與拋物線的解析式聯立求解即可得到點M的坐標；
②在x軸上取一點D，過點D作DE⊥AC于點E，可以證明△AED和△AOC相似，根據相似三角形對應邊成比例列式求解即可得到AD的長度，然后分點D在點A的左邊與右邊兩種情況求出OD的長度，從而得到點D的坐標，再作直線DM∥AC，然后求出直線DM的解析式，與拋物線解析式聯立求解即可得到點M的坐標．
試題解析：（1）設該二次函數的解析式為：y=a（x+1）（x﹣2），
將x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a（0+1）（0﹣2），
解得a=1，
∴拋物線的解析式為y=（x+1）（x﹣2），
即y=x²﹣x﹣2；
（2）設OP=x，則PC=PA=x+1，
在Rt△POC中，由勾股定理，得x²+2²=（x+1）²，
解得，x=，
即OP=；
（3）①∵△CHM∽△AOC，
∴∠MCH=∠CAO，
（i）如圖1，當H在點C下方時，
∵∠OAC+∠OCA=90°，∠MCH=∠OAC
∴∠OCA+∠MCH=90°
∴∠OCM=90°=∠AOC
∴CM∥x軸
∴y_M=﹣2，
∴x²﹣x﹣2=﹣2，
解得x₁=0（舍去），x₂=1，
∴M（1，﹣2），
（ii）如圖1，當H在點C上方時，
∵∠MCH=∠CAO，
∴PA=PC，由（2）得，M′為直線CP與拋物線的另一交點，
設直線CM的解析式為y=kx﹣2，
把P（，0）的坐標代入，得k﹣2=0，
解得k=，
∴y=x﹣2，
由x﹣2=x²﹣x﹣2，
解得x₁=0（舍去），x₂=，
此時y=×﹣2=，
∴M′（，），
②在x軸上取一點D，如圖（備用圖），過點D作DE⊥AC于點E，使DE=，
在Rt△AOC中，AC==，
∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD，
∴△AED∽△AOC，
∴，
解得AD=2，
∴D（1，0）或D（﹣3，0）．
過點D作DM∥AC，交拋物線于M，如圖（備用圖）
則直線DM的解析式為：y=﹣2x+2或y=﹣2x﹣6，
當﹣2x﹣6=x²﹣x﹣2時，即x²+x+4=0，方程無實數根，
當﹣2x+2=x²﹣x﹣2時，即x²+x﹣4=0，解得x₁=，x₂=，
∴點M的坐標為（，3+）或（，3﹣）．