Question

23、已知△ABC為正三角形，點M是射線BC上任意一點，點N是射線CA上任意一點，且BM=CN，直線BN與AM相交于點Q．下面給出了三種情況（如圖①，②，③），先用量角器分別測量∠BQM的大小，然后猜測∠BQM是否為定值并利用其中一圖證明你的結論．

Answer 1

分析：由等邊三角形ABC的性質，可知∠ABC=∠C=60°，AB=BC，又已知BM=CN，所以△ABM≌△BCN，有∠BAM=∠CBN，再根據三角形的外角等于與它不相鄰的兩內角之和，即∠BQM為定值．

解答：解：∠BQM為定值．
理由：如圖①∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC
∵BM=CN
∴△ABM≌△BCN（SAS）
∴∠BAM=∠CBN（全等三角形的對應角相等），
∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠CBQ+∠ABQ=∠ABC=60°
即∠BQM為定值．
圖②中：∠BQM=∠ABN+∠BAM
∵△ABM≌△BCN
∴∠BAM=∠CBN
∴∠BQM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°
圖③中：
∠BQM=∠N+∠NAQ
∵△ABM≌△BCN，
∴∠N=∠M，且∠NAQ=∠CAM，
又∵∠ACB=∠M+∠CAM=∠N+∠NAQ，
且∠BQM=∠N+∠NAQ，
∴∠BQM=∠ACB=60°．

點評：本題重點考查了三角形全等的判定定理，及等邊三角形的性質，三角形的內角和外角的關系．是一道基礎題．