Question

【題目】如圖1，在中，，，將繞點旋轉，邊分別交邊、于、兩點.

（1）若，，求的最小值；

（2）如圖2，設，點是的中點，連接，當旋轉到與的交點是的中點時，過點作的垂線交CM于點，連接、，求證：.

Answer 1

【答案】（1）4.8，（2）見解析.

【解析】

（1）當時，的值最小，利用勾股定理求出斜邊AB，再求出斜邊上的高CD即可，（2）延長至，使得，連接、，得，

再證，得==，再利用， ，得，即△AGF為等腰直角三角形，則，再利用在等腰直角三角形ABC中，CG=AG，即可得證.

（1）解：當時，的值最小.

∵是，，，，

∴.

∴的最小值.

（2）證明：延長至，使得，連接、.

∵點是的中點，∴.

∵，∴.

∴，.

∵，，，

∴，，

∵，，∴.

∵，∴.

∵，∴.∴，.

∴，∴.

∵，，∴.

∵，

.

∴.∴.

∵，，點是的中點，

∴.

∴.