Question

如圖，矩形ABCD中，∠ACB=30°，將一塊直角三角板的直角頂點P放在兩對角線AC，BD的交點處，以點P為旋轉中心轉動三角板，并保證三角板的兩直角邊分別于邊AB，BC所在的直線相交，交點分別為E，F．

（1）當PE⊥AB，PF⊥BC時，如圖1，則的值為　   　；
（2）現將三角板繞點P逆時針旋轉α（0°＜α＜60°）角，如圖2，求的值；
（3）在（2）的基礎上繼續旋轉，當60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2時，如圖3，的值是否變化？證明你的結論．

Answer 1

解：（1）。
（2）如答圖1，過點P作PM⊥AB于點M，PN⊥BC于點N，則PM⊥PN。

∵PM⊥PN，PE⊥PF，∴∠EPM=∠FPN。
又∵∠PME=∠PNF=90°，∴△PME∽△PNF。
∴。
由（1）知，，
∴。
（3）變化。證明如下：
如答圖2，過點P作PM⊥AB于點M，PN⊥BC于點N，則PM⊥PN，PM∥BC，PN∥AB。

∵PM∥BC，PN∥AB，
∴∠APM=∠PCN，∠PAM=∠CPN。
∴△APM∽△PCN。
∴，得CN=2PM。
在Rt△PCN中，，
∴。
∵PM⊥PN，PE⊥PF，∴∠EPM=∠FPN。
又∵∠PME=∠PNF=90°，∴△PME∽△PNF。
∴。
∴的值發生變化

試題分析：（1）證明△APE≌△PCF，得PE=CF；在Rt△PCF中，解直角三角形求得的值：
∵矩形ABCD，∴AB⊥BC，PA=PC。
∵PE⊥AB，BC⊥AB，∴PE∥BC。∴∠APE=∠PCF。
∵PF⊥BC，AB⊥BC，∴PF∥AB。∴∠PAE=∠CPF。
∵在△APE與△PCF中，∠PAE=∠CPF，PA=PC，∠APE=∠PCF，
∴△APE≌△PCF（ASA）。∴PE=CF。
在Rt△PCF中，，∴。
（2）如答圖1所示，作輔助線，構造直角三角形，證明△PME∽△PNF，并利用（1）的結論，求得的值；
（3）如答圖2所示，作輔助線，構造直角三角形，首先證明△APM∽△PCN，求得；然后證明△PME∽△PNF，從而由求得的值。與（1）（2）問相比較，的值發生了變化。