Question

【題目】如圖，拋物線y=x2－4x與x軸交于O，A兩點，P為拋物線上一點，過點P的直線y=x+m與對稱軸交于點Q．

（1）這條拋物線的對稱軸是 ，直線PQ與x軸所夾銳角的度數是 ；

（2）若兩個三角形面積滿足S△POQ=S△PAQ，求m的值；

（3）當點P在x軸下方的拋物線上時，過點C（2，2）的直線AC與直線PQ交于點D，求：①PD＋DQ的最大值；②PDDQ的最大值．

Answer 1

【答案】（1）x=2,45；（2）m=-1或2；（3）①6；②18．

【解析】試題分析：（1）把解析式轉化成頂點式，或利用對稱軸公式即可得該拋物線的對稱軸，利用直線y=x+m與坐標軸的交點坐標即可求得直線PQ與x軸所夾銳角的度數；（2）分情況討論，即直線PQ與x軸的交點落在OA的延長線上，OA上，AO的延長線上三種情況討論m值.設直線PQ交x軸于點B，分別過O點，A點作PQ的垂線，垂足分別是E、F，，當點B在OA的延長線時，S△POQ=S△PAQ不成立；當點B落在線段OA上時， ，由△OBE∽△ABF得， ，由對稱軸求出A點坐標，再由比例式求出B點坐標，代入直線PQ解析式，即可求得m值；當點B落在線段AO的延長線上時，同理由比例式求出B點坐標，進而確定m值；(3)①由題意可過點C作CH∥x軸交直線PQ于點H，可得△CHQ是等腰三角形，AD⊥PH，DQ=DH，PD＋DQ=PH，過P點作PM⊥CH于點M，可得△PMH是等腰直角三角形，PH=PM，即當PM最大時，PH最大，顯然當點P在拋物線頂點處時，PM最大，此時PM=6，于是求得PH的最大值.即PD＋DQ的最大值；②上題求得PD+DQ的最大值為6．即PD+DQ ≤6，設PD=a，則DQ ≤6－a，所以PDDQ≤a（6－a）=－（a－3）2＋18，即當PD=DQ=3時求得PDDQ的最大值

試題解析：（1）∵y=x2－4x=(x－2)2－4，∴拋物線的對稱軸是直線x=2，∵直線y=x+m與坐標軸的交點坐標為(－m，0)，(0，m)，∴交點到原點的距離相等，∴直線與坐標軸圍成的三角形是等腰直角三角形，∴直線PQ與x軸所夾銳角的度數是45°.故答案為x=2；45°．（2）設直線PQ交x軸于點B，分別過O點，A點作PQ的垂線，垂足分別是E、F，顯然當點B在OA的延長線時，OE>AF,S△POQ=S△PAQ不成立；①當點B落在線段OA上時，如圖①，

，由△OBE∽△ABF得， ，∴AB=3OB，∴OB =OA，由y=x2－4x得點A（4，0），∴OB=1，∴B（1，0），代入y=x+m,∴1＋m=0，∴m=－1；②當點B落在線段AO的延長線上時，如圖②，

同理可得OB =OA=2，∴B（－2，0），∴－2＋m=0，∴m=2，；綜上所述，當m=－1或2時，S△POQ=S△PAQ；

（3）①過點C作CH∥x軸交直線PQ于點H，如圖③，

可得△CHQ是等腰三角形，∵=45°+45°=90°，∴AD⊥PH，∴DQ=DH，∴PD＋DQ=PH，過P點作PM⊥CH于點M，則△PMH是等腰直角三角形，∴PH=PM，∴當PM最大時，PH最大，∴當點P在拋物線頂點處時，PM最大，此時PM=6，∴PH的最大值為6，即PD+DQ的最大值為6．②由①可知：PD+DQ ≤6，設PD=a，則DQ ≤6－a，∴PDDQ ≤a（6－a）=－a2＋6a=－（a－3）2＋18，∵當點P在拋物線的頂點時，a=3，∴PDDQ ≤18．；∴PDDQ的最大值為18．