Question

【題目】已知線段MN=8，C是線段MN上一動點，在MN的同側分別作等邊△CMD和等邊△CNE．
（1）如圖①，連接DN與EM，兩條線段相交于點H，求證ME=DN，并求∠DHM的度數；

（2）如圖②，過點D、E分別作線段MN的垂線，垂足分別為F、G，問：在點C運動過程中，DF+EG的長度是否為定值，如果是，請求出這個定值，如果不是請說明理由；

（3）當點C由點M移到點N時，點H移到的路徑長度為（直接寫出結果）

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵△CMD與△CNE是等邊三角形，

∴CM=CD，EC=NC，∠DCM=∠ECN=60°，

∴∠DCN=∠MCE=120°，

在△MCE與△DCN中， ，

∴△MCE≌△DCN，

∴ME=DN，∠CME=∠CDN，

∵∠1=∠2，

∴180°﹣∠CME﹣∠1=180°﹣∠CDN﹣∠2，

∴∠DHM=∠DCM=60°；

（2）

解：DF+EG為定值，

理由：設MF=FC=x，則CG=NG=4﹣x，

∴DF= x，EG= （4﹣x），

∴DF+GE= x+ （4﹣x）=4 ；

（3）
【解析】（3）解：如圖③，當點C由點M移到點N時，點H移到的路徑即為 ，
∵∠MHD=60°，
∴∠MHN=120°，
∴∠MPN=60°，
∴∠MON=120°，
∵MN=8，
∴OM=ON= ，
∴點H移到的路徑長度= = ，
所以答案是： ．

【考點精析】根據題目的已知條件，利用三角形的內角和外角和等邊三角形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角；等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°．