Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過圓心O作OD⊥AC，D為垂足，E是BC上一點，G是DE的中點，OG的延長線交BC于F．
（1）圖中線段OD，BC所在直線有怎樣的位置關系？寫出你的結論，并給出證明過程；
（2）猜想線段BE，EF，FC三者之間有怎樣的數量關系？寫出你的結論，并給出證明過程．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為AB是直徑，所以有∠ACB=90°，而OD⊥AC，又可得到∠ADO=90°，聯合起來，可得∠ACB=∠ADO，因而OD∥BC；
（2）由（1）知，OD∥BC，又O是AB中點，故D是AC中點，那么OD是△ABC的中位線，因而BC=2OD，還能得知△OGD≌△FGE（DG=EG），那么就有BC=2EF，而BC=BE+EF+CF，所以EF=BE+CF．
解答：解：（1）結論：OD∥BC，
證明：∵AB是⊙O直徑，C是⊙O上一點，
∴∠ACB=90°．
即BC⊥AC．
∵OD⊥AC，
∴OD∥BC．

（2）結論：EF=BE+FC，
證明：∵OD⊥AC，
∴AD=DC．
∵O為AB的中點，
∴OD是△ABC的中位線．
∴BC=2OD．
∵，∠ODG=∠FEG，DG=EG，∠GOD=∠GFE，
∴△ODG≌△FEG．
∴OD=EF．
∴BE+EF+FC=BC=2OD=2EF．
∴EF=BE+FC．
點評：本題利用了平行線的判定（兩同位角相等，兩直線平行），以及三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質、圓中直徑所對的角是直角等知識．