Question

【題目】如圖1，正方形ABCD的邊長為4，把三角板的直角頂點放置BC中點E處，三角板繞點E旋轉，三角板的兩邊分別交邊AB、CD于點G、F．

（1）求證：△GBE∽△GEF．

（2）設AG=x，GF=y，求Y關于X的函數表達式，并寫出自變量取值范圍．

（3）如圖2，連接AC交GF于點Q，交EF于點P．當△AGQ與△CEP相似，求線段AG的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）y=4﹣x+（0≤x≤3）；（3）當△AGQ與△CEP相似，線段AG的長為2或4﹣．

【解析】

（1）先判斷出△BEF'≌△CEF，得出BF'=CF，EF'=EF，進而得出∠BGE=∠EGF，即可得出結論；
（2）先判斷出△BEG∽△CFE進而得出CF=

，即可得出結論；
（3）分兩種情況，①△AGQ∽△CEP時，判斷出∠BGE=60°，即可求出BG；
②△AGQ∽△CPE時，判斷出EG∥AC，進而得出△BEG∽△BCA即可得出BG，即可得出結論．

（1）如圖1，延長FE交AB的延長線于F'，

∵點E是BC的中點，

∴BE=CE=2，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，

∴∠F'=∠CFE，

在△BEF'和△CEF中，

，

∴△BEF'≌△CEF，

∴BF'=CF，EF'=EF，

∵∠GEF=90°，

∴GF'=GF，

∴∠BGE=∠EGF，

∵∠GBE=∠GEF=90°，

∴△GBE∽△GEF；

（2）∵∠FEG=90°，

∴∠BEG+∠CEF=90°，

∵∠BEG+∠BGE=90°，

∴∠BGE=∠CEF，

∵∠EBG=∠C=90°，

∴△BEG∽△CFE，

∴，

由（1）知，BE=CE=2，

∵AG=x，

∴BG=4﹣x，

∴，

∴CF=，

由（1）知，BF'=CF=，

由（1）知，GF'=GF=y，

∴y=GF'=BG+BF'=4﹣x+

當CF=4時，即：=4，

∴x=3，（0≤x≤3），

即：y關于x的函數表達式為y=4﹣x+（0≤x≤3）；

（3）∵AC是正方形ABCD的對角線，

∴∠BAC=∠BCA=45°，

∵△AGQ與△CEP相似，

∴①△AGQ∽△CEP，

∴∠AGQ=∠CEP，

由（2）知，∠CEP=∠BGE，

∴∠AGQ=∠BGE，

由（1）知，∠BGE=∠FGE，

∴∠AGQ=∠BGQ=∠FGE，

∴∠AGQ+∠BGQ+∠FGE=180°，

∴∠BGE=60°，

∴∠BEG=30°，

在Rt△BEG中，BE=2，

∴BG=，

∴AG=AB﹣BG=4﹣，

②△AGQ∽△CPE，

∴∠AQG=∠CEP，

∵∠CEP=∠BGE=∠FGE，

∴∠AQG=∠FGE，

∴EG∥AC，

∴△BEG∽△BCA，

∴，

∴，

∴BG=2，

∴AG=AB﹣BG=2，

即：當△AGQ與△CEP相似，線段AG的長為2或4﹣．