Question

如圖，AB是⊙O的直徑，過圓上一點D作⊙O的切線DE，與過點A的直線垂直于E，弦BD的延長線與直線AE交于C點．
（1）求證：點D為BC的中點；
（2）設直線EA與⊙O的另一交點為F，求證：CA²-AF²=4CE•EA；
（3）若弧AD=

1

2

弧DB，⊙O的半徑為r．求由線段DE，AE和弧AD所圍成的陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）連接OD、ED為⊙O切線，由切線的性質知：OD⊥DE；根據垂直于同一直線的兩條直線平行知：OD∥AC；由于O為AB中點，則點D為BC中點．
（2）連接BF，AB為⊙O直徑，根據直徑對的圓周角是直角知，∠CFB=∠CED=90°，根據垂直于同一直線的兩條直線平行知
ED∥BF由平行線的性質知，由于點D為BC中點，則點E為CF中點，所以CA²-AF²=（CA-AF）（CA+AF）=（CE+AE-EF+AE）•CF=2AE•CF，將CF=2CE代入即可得出所求的結論．
（3）由于

AD

=

1

2

DB

則弧AD是半圓ADB的三分之一，有∠AOD=180°÷3=60°；連接DA，可知等腰三角形△OAD為等邊三角形，則有OD=AD=r；在Rt△DEA中，由弦切角定理知：∠EDA=∠B=30°，可求得EA=

1

2

r，ED=

3

2

r，則有S_陰影=S_梯形AODE-S_扇形AOD，從而可求得陰影部分的面積．

解答：（1）證明：連接OD，
∵ED為⊙O切線，∴OD⊥DE；
∵DE⊥AC，∴OD∥AC；
∵O為AB中點，
∴D為BC中點；

（2）證明：連接BF，
∵AB為⊙O直徑，
∴∠CFB=∠CED=90°；
∴ED∥BF；
∵D為BC中點，
∴E為CF中點；
∴CA²-AF²=（CA-AF）（CA+AF）
=（CE+AE-EF+AE）•CF=2AE•CF；
∴CA²-AF²=4CE•AE；

（3）解：∵

AD

=

1

2

DB

，
∴∠AOD=60°；
連接DA，可知△OAD為等邊三角形，
∴OD=AD=r，
在Rt△DEA中，∠EDA=30°，
∴EA=

1

2

r，ED=

3

2

r；
∴S_陰影=S_梯形AODE-S_扇形AOD=

( 1 2 r+r)• 3 r 2

2

-

1

6

πr2
=

3 3

8

r2-

1

6

πr2．

點評：本題考查了切線的性質、平行線的判定和性質、直角三角形的性質、平方差公式、圓周角定理、等邊三角形的判定和性質以及梯形和扇形的面積計算方法等知識．