Question

【題目】我們知道，對任意一個正整數n都可以進行這樣的分解：n=pq（p，q是正整數，且p≤q），在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數之差的絕對值最小，我們就稱pq是n的最佳分解，并規定：F（n）=，例如12可以分解為112，26或34，因為12-1＞6-2＞4-3，所以34是最佳分解，所以F（n）=。

（1）如果一個正整數是另外一個正整數b的平方，我們稱正整數a是完全平方數，求證：對任意一個完全平方數m，總有F（m）=1

（2）如果一個兩位正整數t，t=10x+y　（1≤x≤y≤9，x,y為自然數），交換其個位上的數與十位上的數得到的新數減去原來的兩位正整數所得的差為18，那么我們就稱這個數t為“吉祥數”，求所有“吉祥數”中F（t）的最大值。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）F（t）的最大值為

【解析】試題分析：（1）根據題意可設由最佳分解定義可得

（2）根據“吉祥數”定義知(10y+x)(10x+y)=9(yx)=18，即y=x+2，結合的范圍可得2位數的“吉祥數”，求出每個“吉祥數”的值．即可求出最大值.

試題解析：(1)對任意一個完全平方數m,設 (n為正整數)，

∵|nn|=0，

∴n×n是m的最佳分解，

∴對任意一個完全平方數m,

(2)設交換t的個位上的數與十位上的數得到的新數為t′,則t′=10y+x，

∵t為“吉祥數”，

∴t′t=(10y+x)(10x+y)=9(yx)=18，

∴y=x+2，

∵x，y為自然數，

∴“吉祥數”有：13，24，35，46，57，68，79，

∴所有“吉祥數”中F(t)的值為：

的最大值為