Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2﹣4ax+3a（a＞0），與y軸交于點A，在x軸的正半軸上取一點B，使OB=2OA，拋物線的對稱軸與拋物線交于點C，與x軸交于點D，與直線AB交于點E，連接BC．

（1）求點B，C的坐標（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）若△BCD與△BDE相似，求a的值；
（3）連接OE，記△OBE的外心為M，點M到直線AB的距離記為h，請?zhí)骄縣的值是否會隨著a的變化而變化？如果變化，請寫出h的取值范圍；如果不變，請求出h的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由拋物線的解析式可知：點C的坐標為（2，﹣a），

令x=0代入y=ax2﹣4ax+3a，

∴y=3a，

∴OA=3a，

∵OB=2OA=6a，

∴點B的坐標為（6a，0）

（2）

解：由（1）可知：OD=2，CD=a，OB=6a，

若點B在點D的右側(cè)時，如圖1，

則6a＞2，

∴a＞ ，

∴BD=6a﹣2，

當∠DBC=∠EBD時，

∴tan∠DBC=tan∠EBD= = ，

∴ ，

∴ = ，

∴a= ，

當∠DCB=∠EBD時，

∴tan∠DCB=tan∠EBD= ，

∴ ，

∴ ，

∴a= ，

若點B在點D的左側(cè)時，如圖2，

則0＜6a＜2，

∴0＜a＜ ，

∴BD=2﹣6a，

當∠DBC=∠EBD時，

∴tan∠DBC=tan∠EBD= = ，

∴ ，

∴ = ，

∴a= ，

當∠DCB=∠EBD時，

∴tan∠DCB=tan∠EBD= ，

∴ ，

∴ = ，

∴a= ，

若點B與點D重合時，

則6a=2，

∴a= ，

此情況不存在△BCD與△BDE，

綜上所述，a的值為 、 、 和

（3）

解：由題意知：點M在OB和BE的垂直平分線上，

設(shè)OB和BE的垂直平分線交于點M，

其中OB的垂直平分線與OB交于點G，

BE的垂直平分線交OB于點H，交BE于點F

當點B在點D的右側(cè)時，如圖3，

∴6a＞2，

∴a＞ ，

∴BD=6a﹣2，

∵tan∠EBD= ，

∴ED= BD=3a﹣1，

由勾股定理可求得：BE=3 a﹣ ，

∴BF= BE= ，

∴HF= BF= ，

∴由勾股定理可求得：BH= ，

∴HG=BG﹣BH= ，

∵∠GMH=∠EBD，

∴sin∠GMH=sin∠EBD= ，

∴MH= HG= ，

∴MF=MH+HF= ，

當點B在點D的左側(cè)時，如圖：

∴0＜a＜ ，

∴BD=OD﹣OB=2﹣6a，

∵tan∠ABO=tan∠DBE= ，

∴DE= BD=1﹣3a，

∴由勾股定理可求得：BE= ﹣3 a，

∴BF= BE= ，

∴HF= BF= ，

由勾股定理求得：BH= ，

∵GB= OB=3a，

∴GH=GB+BH= ，

∵∠HBF+∠BHF=90°，

∠GMH+∠BHF=90°，

∴∠HBF=∠GMH，

∴sin∠HBF=sin∠GMH= ，

∴MH= GH= ，

∴MF=MH﹣HF= ，

當點B與點D重合時，

此時a= ，

此情況不符合題意，舍去

綜上所述，點M到直線AB的距離不會變化，始終為 ．

【解析】（1）令x=0代入拋物線可得y=3a，即OA=3a，因為OB=2OA，所以B的坐標為（6a，0），點C時拋物線的頂點，利用頂點坐標公式即可求出C的坐標為（2，﹣a）；（2）由于點B的位置不確定，所以分三種情況討論，一是點B在點D的左側(cè)，二是點B在點D的右側(cè)，三是點B與點D重合，其中第三種情況是不存在△BCD與△BDE；另外，△BCD與△BDE相似時，有兩種情況，一是∠DBC=∠EBD，二是∠DBE=∠DBC，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出a的值；（3）由于點B的位置不確定，所以分三種情況討論，一是點B在點D的左側(cè)，二是點B在點D的右側(cè)，三是點B與點D重合，其中第三種情況是不存在△OBE，由題意知：點M在OB和BE的垂直平分線上，設(shè)OB和BE的垂直平分線交于點M，其中OB的垂直平分線與OB交于點G，BE的垂直平分線交OB于點H，交BE于點F，利用相似三角形的性質(zhì)求出MF的長度即可；