Question

【題目】閱讀資料：
如圖1，在平面直角坐標系xOy中，A，B兩點的坐標分別為A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），由勾股定理得AB2=|x2﹣x1|2+|y2﹣y1|2 ， 所以A，B兩點間的距離為AB= ．
我們知道，圓可以看成到圓心的距離等于半徑的點的集合，如圖2，在平面直角坐標系xOy中，A （x，y）為圓上任意一點，則點A到原點的距離的平方為OA2=|x﹣0|2+|y﹣0|2 ， 當⊙O的半徑OA為r時，⊙O的方程可寫為：x2+y2=r2 ．
問題拓展：
如果圓心坐標為P （a，b），半徑為r，那么⊙P的方程可以寫為　（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2　 ．
綜合應用：
如圖3，⊙P與x軸相切于原點O，P點坐標為（0，6），A是⊙P上一點，連接OA，使∠POA=30°，作PD⊥OA，垂足為D，延長PD交x軸于點B，連接AB．
①證明AB是⊙P的切線；
②是否存在到四點O，P，A，B距離都相等的點Q？若存在，求Q點坐標，并寫出以點Q為圓心，OQ長為半徑的⊙Q的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】解：問題拓展：設A（x，y）為⊙P上任意一點，
∵P（a，b），半徑為r，
∴AP2=（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2 ．
故答案為：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2；
綜合應用：
①∵PO=PA，PD⊥OA，
∴∠OPD=∠APD．

在△POB和△PAB中， ，
∴△POB≌△PAB．
∴∠PAB=∠POB=90°．
∴PA⊥AB．
∵PA是半徑，PA⊥AB于A，
∴AB是⊙P的切線．
②存在到四點O，P，A，B距離都相等的點Q．
當點Q在線段BP中點時，
∵∠POB=∠PAB=90°，
∴QO=QP=QA=QB．
∴此時點Q到四點O，P，A，B距離都相等．
∵PB⊥OA，∠POB=90°，∠POA=30°，
∴∠PBO=30°．
∴在Rt△POB中， ，PB=2PO=12．
∴B點坐標為 ．
∵Q是PB中點，P（0，6），B ，
∴Q點坐標為 ．
∵ ，
∴以Q為圓心，OQ為半徑的⊙Q的方程為
【解析】問題拓展：設A（x，y）為⊙P上任意一點，則有AP=r，根據閱讀材料中的兩點之間距離公式即可求出⊙P的方程；
綜合應用：①由PO=PA，PD⊥OA可得∠OPD=∠APD，從而可證到△POB≌△PAB，則有∠POB=∠PAB．由⊙P與x軸相切于原點O可得∠POB=90°，即可得到∠PAB=90°，由此可得AB是⊙P的切線；
②當點Q在線段BP中點時，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得QO=QP=BQ=AQ．易證∠OBP=∠POA=30°．由P點坐標可求出OP、OB．過點Q作QH⊥OB于H，易證△BHQ∽△BOP，根據相似三角形的性質可求出QH、BH，進而求出OH，就可得到點Q的坐標，然后運用問題拓展中的結論就可解決問題．