Question

【題目】如圖，⊙O的半徑為1，直線CD經過圓心O，交⊙O于C、D兩點，直徑AB⊥CD，點M是直線CD上異于點C、O、D的一個動點，AM所在的直線交于⊙O于點N，點P是直線CD上另一點，且PM=PN．

（1）當點M在⊙O內部，如圖一，試判斷PN與⊙O的關系，并寫出證明過程；

（2）當點M在⊙O外部，如圖二，其它條件不變時，（1）的結論是否還成立？請說明理由；

（3）當點M在⊙O外部，如圖三，∠AMO=15°，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）PN與⊙O相切．證明見解析；（2）成立．證明見解析；（3）

【解析】試題分析：（1）根據切線的判定得出∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA進而求出即可；

（2）根據已知得出∠PNM+∠ONA=90°，進而得出∠PNO=180°-90°=90°即可得出答案；

（3）首先根據外角的性質得出∠AON=60°進而利用扇形面積公式得出即可．

試題解析：（1）PN與⊙O相切．

證明：連接ON，

則∠ONA=∠OAN，

∵PM=PN，

∴∠PNM=∠PMN，

∵∠AMO=∠PMN，

∴∠PNM=∠AMO，

∴∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA=90°，

即PN與⊙O相切．

（2）成立．

證明：連接ON，

則∠ONA=∠OAN，

∵PM=PN，

∴∠PNM=∠PMN，

在Rt△AOM中，∠OMA+∠OAM=90°，

∴∠PNM+∠ONA=90°．

∴∠PNO=180°-90°=90°．

即PN與⊙O相切．

（3）連接ON，

由（2）可知∠ONP=90°．

∵∠AMO=30°，PM=PN，

∴∠PNM=30°，∠OPN=60°，

∴∠PON=30°，∠AON=60°，

作NE⊥OD，垂足為點E，

則NE=ONsin30°=1×=，

S陰影=S△AOC+S扇形AON-S△CON

=OCOA+×π×12-CONE

=×1×1+π-×1×

=+π．