Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點P在CA的延長線上，∠CAD=45°．
（Ⅰ）若AB=4，求 的長；
（Ⅱ）若 = ，AD=AP，求證：PD是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）連接OC，OD，
∵∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，
∴∠COD=90°，
∵AB=4，
∴OC= AB=2，
∴ 的長= ×π×2=π；
（Ⅱ）∵ = ，
∴∠BOC=∠AOD，
∵∠COD=90°，
∴∠AOD=45°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∵∠AOD+∠ODA=∠OAD=180°，
∴∠ODA=67.5°，
∵AD=AP，
∴∠ADP=∠APD，
∵∠CAD=∠ADP+∠APD，∠CAD=45°，
∴∠ADP= CAD=22.5°，
∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，
∴PD是⊙O的切線．
【解析】（Ⅰ）連接OC，OD，由圓周角定理得到∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，于是得到∠COD=90°，根據弧長公式即可得到結論；（Ⅱ）由已知條件得到∠BOC=∠AOD，由圓周角定理得到∠AOD=45°，根據等腰三角形的性質得到∠ODA=∠OAD，求得∠ADP= CAD=22.5°，得到∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，于是得到結論．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用圓內接四邊形的性質和切線的判定定理的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握把圓分成n(n≥3):1、依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形2、經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形；切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．