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通過前面的學習，我們知道利用面積的不同表示方法可以寫出一個代數恒等式，比如圖1的圖形，我們可以把它看成長為（b+c），寬為a的長方形，則圖形的面積為

a（b+c）

，我們也可以把它看成是兩個長方形組成的圖形，則此時，它的面積可以表示為

ab+ac

，所以我們可以得到等式

a（b+c）=ab+ac

（1）圖2的圖形蘊涵著一個著名定理，請你運用面積不同的表達方式推導出這個定理．
（2）在圖3中，試畫一個幾何圖形，使它的面積能夠表示：（a+b）²=a²+2ab+b²（把圖形作在方格中）

分析：根據矩形的面積公式寫出即可；
（1）利用大正方形的面積的從整體與局部兩種思路寫出即可得解；
（3）作一個邊長為（a+b）的正方形，然后把正方形分成四部分．

解答：

解：a（b+c），ab+ac，a（b+c）=ab+ac；

（1）證明：正方形的面積：（a+b）²，
正方形的面積也可以表示為：4×

ab+c²，
所以，4×

ab+c²=（a+b）²，
即c²=a²+b²；

（2）如圖所示，正方形的面積可以表示為：（a+b）²，
也可以表示為a²+2ab+b²，
所以，（a+b）²=a²+2ab+b²．

點評：本題考查了勾股定理的證明，比較簡單，結合圖形，把圖形的面積從整體與局部兩個方面表示出面積即可得證．

練習冊系列答案

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相關習題

科目：初中數學 來源： 題型：閱讀理解

（2013•青島）在前面的學習中，我們通過對同一面積的不同表達和比較，根據圖1和圖2發現并驗證了平方差公式和完全平方公式．
這種利用面積關系解決問題的方法，使抽象的數量關系因幾何直觀而形象化．

【研究速算】
提出問題：47×43，56×54，79×71，…是一些十位數字相同，且個位數字之和是10的兩個兩位數相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？
幾何建模：
用矩形的面積表示兩個正數的乘積，以47×43為例：
（1）畫長為47，寬為43的矩形，如圖3，將這個47×43的矩形從右邊切下長40，寬3的一條，拼接到原矩形上面．
（2）分析：原矩形面積可以有兩種不同的表達方式：47×43的矩形面積或（40+7+3）×40的矩形與右上角3×7的矩形面積之和，即47×43=（40+10）×40+3×7=5×4×100+3×7=2021．
用文字表述47×43的速算方法是：十位數字4加1的和與4相乘，再乘以100，加上個位數字3與7的積，構成運算結果．
歸納提煉：
兩個十位數字相同，并且個位數字之和是10的兩位數相乘的速算方法是（用文字表述）

十位數字加1的和與十位數字相乘，再乘以100，加上兩個個位數字的積，構成運算結果

．
【研究方程】
提出問題：怎樣圖解一元二次方程x²+2x-35=0（x＞0）？
幾何建模：
（1）變形：x（x+2）=35．
（2）畫四個長為x+2，寬為x的矩形，構造圖4
（3）分析：圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達方式，（x+x+2）²或四個長x+2，寬x的矩形面積之和，加上中間邊長為2的小正方形面積．
即（x+x+2）²=4x（x+2）+2²
∵x（x+2）=35
∴（x+x+2）²=4×35+2²
∴（2x+2）²=144
∵x＞0
∴x=5
歸納提煉：求關于x的一元二次方程x（x+b）=c（x＞0，b＞0，c＞0）的解．
要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖，并注明相關線段的長）
【研究不等關系】
提出問題：怎樣運用矩形面積表示（y+3）（y+2）與2y+5的大小關系（其中y＞0）？
幾何建模：
（1）畫長y+3，寬y+2的矩形，按圖5方式分割
（2）變形：2y+5=（y+3）+（y+2）
（3）分析：圖5中大矩形的面積可以表示為（y+3）（y+2）；陰影部分面積可以表示為（y+3）×1，畫點部分部分的面積可表示為y+2，由圖形的部分與整體的關系可知（y+3）（y+2）＞（y+3）+（y+2），即（y+3）（y+2）＞2y+5
歸納提煉：
當a＞2，b＞2時，表示ab與a+b的大小關系．
根據題意，設a=2+m，b=2+n（m＞0，n＞0），要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖并注明相關線段的長）

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科目：初中數學 來源：2013年初中畢業升學考試（山東青島卷）數學（解析版） 題型：解答題

在前面的學習中，我們通過對同一面積的不同表達和比較，根據圖①和圖②發現并驗證了平方差公式和完全平方公式

這種利用面積關系解決問題的方法，使抽象的數量關系因集合直觀而形象化。

【研究速算】

提出問題：47×43，56×54，79×71，……是一些十位數字相同，且個位數字之和是10的兩個兩位數相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？

幾何建模：

用矩形的面積表示兩個正數的乘積，以47×43為例：

（1）畫長為47，寬為43的矩形，如圖③，將這個47×43的矩形從右邊切下長40，寬3的一條，拼接到原矩形的上面。

（2）分析：原矩形面積可以有兩種不同的表達方式，47×43的矩形面積或（40＋7＋3）×40的矩形與右上角3×7的矩形面積之和，即47×43＝（40＋10）×40＋3×7＝5×4×100＋3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位數字4加1的和與4相乘，再乘以100，加上個位數字3與7的積，構成運算結果。