Question

（2013•青島）在前面的學習中，我們通過對同一面積的不同表達和比較，根據圖1和圖2發現并驗證了平方差公式和完全平方公式．
這種利用面積關系解決問題的方法，使抽象的數量關系因幾何直觀而形象化．

【研究速算】
提出問題：47×43，56×54，79×71，…是一些十位數字相同，且個位數字之和是10的兩個兩位數相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？
幾何建模：
用矩形的面積表示兩個正數的乘積，以47×43為例：
（1）畫長為47，寬為43的矩形，如圖3，將這個47×43的矩形從右邊切下長40，寬3的一條，拼接到原矩形上面．
（2）分析：原矩形面積可以有兩種不同的表達方式：47×43的矩形面積或（40+7+3）×40的矩形與右上角3×7的矩形面積之和，即47×43=（40+10）×40+3×7=5×4×100+3×7=2021．
用文字表述47×43的速算方法是：十位數字4加1的和與4相乘，再乘以100，加上個位數字3與7的積，構成運算結果．
歸納提煉：
兩個十位數字相同，并且個位數字之和是10的兩位數相乘的速算方法是（用文字表述）

十位數字加1的和與十位數字相乘，再乘以100，加上兩個個位數字的積，構成運算結果

．
【研究方程】
提出問題：怎樣圖解一元二次方程x²+2x-35=0（x＞0）？
幾何建模：
（1）變形：x（x+2）=35．
（2）畫四個長為x+2，寬為x的矩形，構造圖4
（3）分析：圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達方式，（x+x+2）²或四個長x+2，寬x的矩形面積之和，加上中間邊長為2的小正方形面積．
即（x+x+2）²=4x（x+2）+2²
∵x（x+2）=35
∴（x+x+2）²=4×35+2²
∴（2x+2）²=144
∵x＞0
∴x=5
歸納提煉：求關于x的一元二次方程x（x+b）=c（x＞0，b＞0，c＞0）的解．
要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖，并注明相關線段的長）
【研究不等關系】
提出問題：怎樣運用矩形面積表示（y+3）（y+2）與2y+5的大小關系（其中y＞0）？
幾何建模：
（1）畫長y+3，寬y+2的矩形，按圖5方式分割
（2）變形：2y+5=（y+3）+（y+2）
（3）分析：圖5中大矩形的面積可以表示為（y+3）（y+2）；陰影部分面積可以表示為（y+3）×1，畫點部分部分的面積可表示為y+2，由圖形的部分與整體的關系可知（y+3）（y+2）＞（y+3）+（y+2），即（y+3）（y+2）＞2y+5
歸納提煉：
當a＞2，b＞2時，表示ab與a+b的大小關系．
根據題意，設a=2+m，b=2+n（m＞0，n＞0），要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖并注明相關線段的長）

Answer 1

分析：【研究速算】十位數字加1的和與十位數字相乘，再乘以100，加上兩個個位數字的積，構成運算結果；
【研究方程】畫四個長為x+b，寬為x的矩形，構造答圖1，則圖中的大正方形面積有兩種不同的表達方式，由此建立方程求解即可；
【研究不等關系】畫長為2+m，寬為2+n的矩形，并按答圖2方式分割．圖中大矩形面積可表示為（2+m）（2+n），陰影部分面積可表示為2+m與2+n的和．由圖形的部分與整體的關系可知，（2+m）（2+n）＞（2+m）+（2+n），即ab＞a+b．

解答：解：【研究速算】
歸納提煉：
十位數字加1的和與十位數字相乘，再乘以100，加上兩個個位數字的積，構成運算結果．

【研究方程】
歸納提煉：
畫四個長為x+b，寬為x的矩形，構造答圖1，則圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達方式：（x+x+b）²或四個長為x+b，寬為x的矩形面積之和，加上中間邊長為b的小正方形面積．

即：（x+x+b）²=4x（x+b）+b²
∵x（x+b）=c，
∴（x+x+b）²=4c+b²
∴（2x+b）²=4c+b²
∵x＞0，
∴x=

4c+b2 -b

2

．

【研究不等關系】
歸納提煉：
（1）畫長為2+m，寬為2+n的矩形，并按答圖2方式分割．

（2）變形：a+b=（2+m）+（2+n）
（3）分析：圖中大矩形面積可表示為（2+m）（2+n），陰影部分面積可表示為2+m與2+n的和．由圖形的部分與整體的關系可知，（2+m）（2+n）＞（2+m）+（2+n），即ab＞a+b．

點評：本題考查了數形結合的數學思想，利用數形結合思想建立了代數（速算、方程與不等式等）與幾何圖形之間的內在聯系，體現了數學的魅力，是一道好題．試題立意新穎，構思巧妙，對于學生的學習大有裨益；不足之處在于題干篇幅過長，學生讀題并理解題意需要花費不少的時間，影響答題的信心．