Question

【題目】問題探究

（1）請(qǐng)?jiān)趫D①的的邊上求作一點(diǎn)，使最短；

（2）如圖②，點(diǎn)為內(nèi)部一點(diǎn)，且滿足．求證：點(diǎn)到點(diǎn)、、的距離之和最短，即最短；

問題解決

（3）如圖③，某高校有一塊邊長(zhǎng)為400米的正方形草坪，現(xiàn)準(zhǔn)備在草坪內(nèi)放置一對(duì)石凳及垃圾箱在點(diǎn)處，使點(diǎn)到、、三點(diǎn)的距離之和最小，那么是否存在符合條件的點(diǎn)？若存在，請(qǐng)作出點(diǎn)的位置，并求出這個(gè)最短距離；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）證明見解析；（3）存在，作圖見解析；點(diǎn)到三點(diǎn)的距離之和最小值為米．

【解析】

（1）根據(jù)垂線段最短、利用尺規(guī)作圖作出點(diǎn)P；

（2）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，，，根據(jù)作圖可知和均為等邊三角形，連接，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)時(shí)，短，

（3）以BC為邊作正△BCD，使點(diǎn)D與點(diǎn)A在BC兩側(cè)，作△BCD的外接圓，連接AD交圓于P，連接PB，作DE⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于E，根據(jù)勾股定理、直角三角形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．

解：（1）如圖①，過點(diǎn)作的垂線，

垂足為，點(diǎn)記為所求；

（2）如圖②，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，

將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，

連接，，，

根據(jù)作圖可知和均為等邊三角形，

∴，，

，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

連接，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，

當(dāng)時(shí)，

最短，

∵，

∴，

又∵為等邊三角形，

∴四點(diǎn)共線，

∴，

∴當(dāng)時(shí)，最短；

（3）存在符合條件的點(diǎn)．

如解圖③，以為作等邊，在作的外接圓，

連接，交于點(diǎn)，

此時(shí)最小，

在上截取．

∵在等邊中，

∴（同弧所對(duì)的圓周角相等）

∴為等邊三角形，

∴．

∴．

∴．

又∵，，

∴，

∴，

∴最小．

理由如下：

設(shè)點(diǎn)為正方形內(nèi)任意一點(diǎn)，

連接，、，

將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．

∵，

∴為的最短距離．

在中，，米，

∴（米），

（米），

∴（米）．

在中，

．

∴點(diǎn)到三點(diǎn)的距離之和最小值為米．