Question

已知雙曲線y=

k

x

上有一點P（m，n）且m、n是關于t的一元二次方程t²-3t+k=0的兩根，且P點到原點的距離為

13

，則雙曲線的表達式為

y=-

2

x

．

Answer 1

分析：根據點P（m，n）在反比例函數y=

k

x

的圖象上，得到mn=k；由m、n是關于t的一元二次方程t²-3t+k=0的兩根，得到m+n=3，根據P點到原點的距離為

13

，利用勾股定理可得m²+n²=13，將所得三個式子組成方程組即可解答．

解答：解：將P（m，n）代入反比例函數y=

k

x

得：mn=k①；
∵m、n是關于t的一元二次方程t²-3t+k=0的兩根，
∴m+n=3②，
∵P點到原點的距離為

13

，
∴根據勾股定理可得m²+n²=13③，
由①②③可得：k=mn=

1

2

[（m+n）²-（m²+n²）]=

1

2

×（3²-13）=-2，
∴雙曲線的表達式為：y=-

2

x

．
故答案為：y=-

2

x

．

點評：此題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征、勾股定理以及一元二次方程根與系數的關系．此題難度適中，注意掌握方程思想的應用．