Question

【題目】（1）如圖（1），已知，在△ABC中，AD，AE分別是△ABC的高和角平分線，若∠B=30°，∠C=50°．求∠DAE的度數；

（2）如圖（2），已知AF平分∠BAC，交邊BC于點E，過F作FD⊥BC，若∠B=x°，∠C=（x+36）°，

①∠CAE=　 　（含x的代數式表示）

②求∠F的度數．

Answer 1

【答案】(1)∠DAE=10°；（2）①72°﹣x°，②∠F=18°．

【解析】試題分析：

(1) 要求∠DAE的度數，可以先求得∠CAE和∠CAD的度數再將它們相減. 先根據三角形的內角和求得∠BAC的度數，再根據AE是∠BAC的角平分線這一條件得到∠CAE的度數. 由于AD是△ABC的高，所以通過直角三角形兩銳角的關系可以得到∠CAD的度數. 根據上述角的度數即可求得∠DAE的度數.

(2) 根據三角形的內角和，容易用x表示∠BAC. 根據AF平分∠BAC這一條件，不難用x表示∠CAE和∠BAE. 結合上述結果，利用三角形外角的相關結論，可以得到∠AEC的度數. 根據FD⊥BC，利用對頂角和直角三角形兩銳角的關系可以得到∠F的度數.

試題解析：

(1) ∵∠B=30°，∠C=50°，

∴在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-50°=100°.

∵AE是△ABC的角平分線，即AE平分∠BAC，

∴.

∵AD是△ABC的高，即AD⊥BC，

∴在Rt△ADC中，∠CAD=90°-∠C=90°-50°=40°，

∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=50°-40°=10°.

(2) ①∵∠B=x°，∠C=(x+36)°，

∴在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-x°-(x+36)°=(144-2x)°.

∵AF平分∠BAC，

∴.

故本小題應填寫：.

②∵AF平分∠BAC，

∴∠BAE=∠CAE=72°-x°.

∵∠AEC是△ABE的一個外角，

∴∠AEC=∠BAE+∠B=72°-x°+x°=72°，

∴∠FED=∠AEC=72°.

∵FD⊥BC，

∴在Rt△EDF中，∠F=90°-∠FED=90°-72°=18°.