Question

【題目】如圖1，將一副直角三角板放在同一條直線AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°

（1）觀察猜想

將圖1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至圖②的位置，使得點O與點N重合，CD與MN相交于點E，則∠CEN＝　 度．

（2）操作探究

將圖1中的三角尺OCD繞點O按順時針方向旋轉，使一邊OD在∠MON的內部，如圖3，且OD恰好平分∠MON，CD與NM相交于點E，求∠CEN的度數；

（3）深化拓展

將圖1中的三角尺OCD繞點O按沿順時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，若邊CD恰好與邊MN平行，請你求出此時旋轉的角度．

Answer 1

【答案】（1）105°；（2）∠CEN＝150°；（3）75或255．

【解析】

（1）根據三角形的內角和定理列式計算即可得解；

（2）由OD平分∠MON，得∠DON＝ ∠MPN＝45°，則∠DON＝∠D＝45°，可得CD∥AB， 由兩直線平行，同旁內角互補，可得出∠CEN＝150°；

（3）分當CD在AB上方及當CD在AB的下方兩種情況進行討論，畫出具體圖形，進行計算即可。

（1）∵∠ECN＝45°，∠ENC＝30°，

∴∠CEN＝180-75=105°．故答案為：105°．

（2）∵OD平分∠MON，

∴∠DON＝∠MPN＝×90°＝45°，

∴∠DON＝∠D＝45°，

∴CD∥AB，

∴∠CEN＝180°﹣∠MNO＝180°﹣30°＝150°；

（3）如圖1，CD在AB上方時，設OM與CD相交于F，

∵CD∥MN，

∴∠OFD＝∠M＝60°，

在△ODF中，∠MOD＝180°﹣∠D﹣∠OFD，

＝180°﹣45°﹣60°，

＝75°，

當CD在AB的下方時，設直線OM與CD相交于F，

∵CD∥MN，

∴∠DFO＝∠M＝60°，

在△DOF中，∠DOF＝180°﹣∠D﹣∠DFO＝180°﹣45°﹣60°＝75°，

∴旋轉角為75°+180°＝255°，

綜上所述，旋轉的角度為75°或255°時，邊CD恰好與邊MN平行．

故答案為：75或255．