Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，直線l1：y=2x+8與坐標軸分別交于A，B兩點，點C在x正半軸上，且OA=OC．點P為線段AC（不含端點）上一動點，將線段OP繞點O逆時針旋轉90°，得線段OQ（見圖2）

（1）分別求出點B、點C的坐標；

（2）如圖2，連接AQ，求證：∠OAQ=45°；

（3）如圖2，連接BQ，試求出當線段BQ取得最小值時點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）B（-4，0），C（8，0）；（2）詳見解析；（3）點Q坐標為（-6，2）．

【解析】

（1）利用待定系數法即可解決問題；

（2）只要證明△OAQ≌△OPC，可得∠OAQ=∠OCP=45°；

（3）因為∠OAQ=45°，設直線AQ交x軸與E，則點Q在直線AE上 運動，根據垂線段最短可知當BQ⊥AE時，BQ的長最短，求出直線AE、BQ的解析式，利用方程組確定交點Q的坐標即可；

解：（1）對于直線y=2x+8令x=0得到y=8，令y=0，得到x=-4，

∴A（0，8），B（-4，0），

∴OA=OC=8，

∴C（8，0）．

（2）由旋轉可知，OP=OQ，∠POQ=∠AOC=90°，

∴∠AOQ=∠COP，

在△AOQ和△COP中，

，

∴△OAQ≌△OPC，

∴∠OAQ=∠OCP，

∵OA=OC，∠AOC=90°，

∴∠OCA=45°，

∴∠OAQ=45°．

（3）如圖2中，

∵∠OAQ=45°，設直線AQ交x軸與E，則點Q在直線AE上運動，

∵A（0，8），E（-8，0），

∴直線AE的解析式為y=x+8，

根據垂線段最短可知當BQ⊥AE時，BQ的長最短，

∵BQ⊥AE，

∴直線BQ的解析式為y=-x-4，

由，解得，

∴當BQ最短時，點Q坐標為（-6，2）．