Question

如圖，在直角坐標系中，直線AB：y=-

4

3

x+4分別交x、y軸于點A、B，線段OA上的一動點C以每秒1個單位的速度由O向點A運動，線段BA上的一動點D同時以每秒

5

3

個單位的速度由B向A運動．
（1）在運動過程中△ADC與△ABO是否相似？試說明你的理由；
（2）問當運動時間t為多少秒時，以CD為直徑的圓與y軸相切？
（3）在運動過程中是否存在某一時刻，使得△OCD與△ACD相似？若存在，求出運動時間；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先分別求出OA=3，OB=4，則AB=5，設動點C移動的時間為t秒，則AD=5-

5

3

t，AC=3-t，再分別求出AD：AB，AC：AO，可得AD：AB=AC：AO，根據三角形相似的判定方法得到△ADC與△ABO相似；
（2）由（1）得CD⊥OA，通過CD：OB=AC：AO，得到CD=

4

3

（3-t），當CD為直徑的圓與y軸相切時，OC等于圓的半徑，則CD=2OC，即

4

3

（3-t）=2t，解出t即可；
（3）易知△OCD與△ACD都是直角三角形，分類：當OC：CD=CD：AC時，Rt△OCD∽Rt△DCA；當OC：AC=CD：CD=1，Rt△OCD∽Rt△ACD，然后分別列出t的方程，解方程即可．

解答：解：（1）在運動過程中△ADC與△ABO相似．理由如下：
對于y=-

4

3

x+4，令x=0，y=4；令y=0，得x=3，
∴OA=3，OB=4，則AB=5，
設動點C移動的時間為t秒，
∴BD=

5

3

t，OC=t，
∴AD=5-

5

3

t，AC=3-t，
∴

AD

AB

=

5- 5 3 t

5

=

3-t

3

，
而

AC

AO

=

3-t

3

，
∴AD：AB=AC：AO，
∴△ADC∽△ABC；

（2）由（1）得CD⊥OA，并且CD：OB=AC：AO，即CD：4=3：（3-t），
∴CD=

4

3

（3-t），
當CD為直徑的圓與y軸相切時，OC等于圓的半徑，
∴CD=2OC，即

4

3

（3-t）=2t，
∴t=

6

5

（秒），
即當運動時間t為

6

5

秒時，以CD為直徑的圓與y軸相切；

（3）存在．理由如下：
△OCD與△ACD都是直角三角形，
∴當OC：CD=CD：AC時，Rt△OCD∽Rt△DCA，
∴

t

4 3 (3-t)

=

4 3 (3-t)

3-t

，解得t=

48

25

；
當OC：AC=CD：CD=1，Rt△OCD∽Rt△ACD，
∴

t

3-t

=1，解得t=

3

2

，
所以運動過程中當時間為

48

25

或

3

2

秒時，可使得△OCD與△ACD相似．

點評：本題考查了求直線與坐標軸的交點坐標的方法．也考查了三角形相似的判定與性質以及直線與圓相切的判定與性質．