Question

（本題12分）拋物線y=-x²+bx+c經過點A、B、C，已知A（-1，0），C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，P為線段BC上一點，過點P作y軸平行線，交拋物線于點D，當△BDC的面積最大時，求點P的坐標；
（3）如圖2，拋物線頂點為E，EF⊥x軸于F點，M（m，0）是x軸上一動點，N是線段EF上一點，若∠MNC=90°，請指出實數m的變化范圍，并說明理由．

Answer 1

（1）
（3）  P（，）
（3）≤m≤5

試題分析：
解：
（1）由題意得：，解得：，
∴拋物線解析式為；
（2）令，
∴x₁= -1，x₂=3，即B（3，0），
設直線BC的解析式為y=kx+b′，
∴，解得：，
∴直線BC的解析式為，
設P（a，3-a），則D（a，-a²+2a+3），
∴PD=（-a²+2a+3）-（3-a）=-a²+3a，
∴S_△BDC=S_△PDC+S_△PDB
，
∴當時，△BDC的面積最大，此時P（，）；
（3）由（1），y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴OF=1，EF=4，OC=3，
過C作CH⊥EF于H點，則CH=EH=1，

當M在EF左側時，
∵∠MNC=90°，
則△MNF∽△NCH，
∴，
設FN=n，則NH=3-n，
∴，
即n²-3n-m+1=0，
關于n的方程有解，△=（-3）²-4（-m+1）≥0，
得m≥，
當M在EF右側時，Rt△CHE中，CH=EH=1，∠CEH=45°，即∠CEF=45°，
作EM⊥CE交x軸于點M，則∠FEM=45°，
∵FM=EF=4，
∴OM=5，
即N為點E時，OM=5，
∴m≤5，
綜上，m的變化范圍為：≤m≤5．
點評：二次函數的應用是中考的必考題型，考生在解此類問題時一定要注意分析求最大值和最小值所需要函數解決的問題。