Question

【題目】已知：正方形ABCD，E為平面內任意一點，連接DE，將線段DE繞點D順時針旋轉90°得到DG，連接EC，AG．
（1）當點E在正方形ABCD內部時， ①根依題意，在圖1中補全圖形；
②判斷AG與CE的數量關系與位置關系并寫出證明思路．

（2）當點B，D，G在一條直線時，若AD=4，DG=2 ，求CE的長．（可在備用圖中畫圖）

Answer 1

【答案】
（1）解：當點E在正方形ABCD內部時，

①根依題意，補全圖形如圖1：

②AG=CE，AG⊥CE．

理由：

在正方形ABCD，

∴AD=CD，∠ADC=90°，

∵由DE繞著點D順時針旋轉90°得DG，

∴∠GDE=∠ADC=90°，GD=DE，

∴∠GDA=∠EDC

在△AGD和△CED中， ，

∴△AGD≌△CED，

∴AG=CE．

延長CE分別交AG、AD于點F、H，

由①中結論△AGD≌△CED，

∴∠GAD=∠ECD，

∵∠AHF=∠CHD，

∴∠AFH=∠HDC=90°，

∴AG⊥CE．

（2）解：①當點G在線段BD的延長線上時，如圖3所示．

過G作GM⊥AD于M．

∵BD是正方形ABCD的對角線，

∴∠ADB=∠GDM=45°．

∵GM⊥AD，DG=2

∴MD=MG=2，

∴AM=AD+DM=6

在Rt△AMG中，由勾股定理，得

AG= =2 ，

∴CE=AG=2

②當點G在線段BD上時，如圖4所示，

過G作GM⊥AD于M．

∵BD是正方形ABCD的對角線，

∴∠ADG=45°

∵GM⊥AD，DG=2

∴MD=MG=2，

∴AM=AD﹣MG=2

在Rt△AMG中，由勾股定理，得

AG= =2

∴CE=AG=2

故CE的長為2 或2 ．

【解析】（1）①根據題意補全圖形，

②先判斷出∠GDA=∠EDC，進而得出△AGD≌△CED，即可得出AG=CE，最后判斷出∠AFH=∠HDC=90°即可得出結論；（2）分兩種情況，①當點G在線段BD的延長線上時和②當點G在線段BD上時，構造直角三角形利用勾股定理即可得出結論．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解圖形的旋轉的相關知識，掌握每一個點都繞旋轉中心沿相同方向轉動了相同的角度，任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等．旋轉的方向、角度、旋轉中心是它的三要素．