Question

【題目】如圖①，直線交于x軸于點A，交y軸于點C，過A、C兩點的拋物線F1交x軸于另一點B（1，0）．

（1）求拋物線F1所表示的二次函數的表達式；

（2）若點M是拋物線F1位于第二象限圖象上的一點，設四邊形MAOC和△BOC的面積分別為S四邊形MAOC和S△BOC，記S=S四邊形MAOC﹣S△BOC，求S最大時點M的坐標及S的最大值；

（3）如圖②，將拋物線F1沿y軸翻折并“復制”得到拋物線F2，點A、B與（2）中所求的點M的對應點分別為A′、B′、M′，過點M′作M′E⊥x軸于點E，交直線A′C于點D，在x軸上是否存在點P，使得以A′、D、P為頂點的三角形與△AB′C相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當a=時，S有最大值，最大值為，此時，M（，5）；（3）P（2，0）或（，0）．

【解析】

試題分析：（1）利用一次函數的解析式求出點A、C的坐標，然后再利用B點坐標即可求出二次函數的解析式；

（2）由于M在拋物線F1上，所以可設M（a，），然后分別計算S四邊形MAOC和S△BOC，過點M作MD⊥x軸于點D，則S四邊形MAOC的值等于△ADM的面積與梯形DOCM的面積之和．

（3）由于沒有說明點P的具體位置，所以需要將點P的位置進行分類討論，當點P在A′的右邊時，此情況是不存在；當點P在A′的左邊時，此時∠DA′P=∠CAB′，若以A′、D、P為頂點的三角形與△AB′C相似，則分為以下兩種情況進行討論：①；②．

試題解析：（1）令y=0代入，∴x=﹣3，A（﹣3，0），令x=0，代入，∴y=4，∴C（0，4），設拋物線F1的解析式為：y=a（x+3）（x﹣1），把C（0，4）代入上式得，a=，∴；

（2）如圖①，設點M（a，），其中﹣3＜a＜0．

∵B（1，0），C（0，4），∴OB=1，OC=4，∴S△BOC=OBOC=2，過點M作MD⊥x軸于點D，∴MD=，AD=a+3，OD=﹣a，∴S四邊形MAOC=ADMD+（MD+OC）OD=ADMD+ODMD+ODOC=MD（AD+OD）+ ODOC=MDOA+ODOC

==

∴S=S四邊形MAOC﹣S△BOC===

∴當a=時，S有最大值，最大值為，此時，M（，5）；

（3）如圖②，由題意知：M′（，5），B′（﹣1，0），A′（3，0），∴AB′=2．

設直線A′C的解析式為：y=kx+b，把A′（3，0）和C（0，4）代入y=kx+b，得：，∴，∴，令x=代入，∴y=2，∴D（，2）．由勾股定理分別可求得：AC=5，DA′=．設P（m，0），①當m＜3時，此時點P在A′的左邊，∴∠DA′P=∠CAB′，當時，△DA′P∽△CAB′，此時，=（3﹣m），解得：m=2，∴P（2，0）；

當時，△DA′P∽△B′AC，此時，=（3﹣m），解得m=，∴P（，0）

②當m＞3時，此時，點P在A′右邊，由于∠CB′O≠∠DA′E，∴∠AB′C≠∠DA′P，∴此情況，△DA′P與△B′AC不能相似．

綜上所述，當以A′、D、P為頂點的三角形與△AB′C相似時，點P的坐標為（2，0）或（，0）．