Question

【題目】已知方程．

若，求方程的根；

找出一組正整數，，使得方程的三個根均為整數；

證明：只有一組正整數，，使得方程的三個根均為整數．

Answer 1

【答案】(1);(2) 當時，方程的三個根均為整數；(3)見解析.

【解析】

（1）若n=m=0，則方程化為x3-3x2+3x-1=0，即（x-1）3=0．求解即可；

（2）設方程x2-23mx+5n=0的兩個解為x1，x2．根據公式法求得后，再確定m，n的值；

（3）設9m-5n=k2（其中k為整數），有9m-k2=5n，即（3m-k）（3m+k）=5n，再設

（其中i+j=n，i，j為非負整數），因此23m=5j（5j-i+1），可得到23m=5n+1，然后討論m，n的取值．

解：若，則方程化為，即．

所以．

(2)方程化為

設方程的兩個解為，．

則．

當時，方程的三個根均為整數；

(3)設（其中為整數）

所以，即，

不妨設（其中，，為非負整數），

因此：，

又∵不能整除，

∴，因此有，

要使三根均為整數，則只有一組正整數，此時，．