Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，正方形的頂點，，點為邊上一動點（不與端點重合），連接，作線段的垂直平分線交邊于點，連接，過點作交于點．

（1）如圖1，當點為線段AB的中點時，求線段的長；

（2）如圖2，若正方形的周長為，的周長為，記，試證明為定值；

（3）在（2）的條件下，構造過點C的拋物線同時滿足以下兩個條件：

①；②當時，函數的最大值為，求二次項系數的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）二次項系數的值為或．

【解析】

（1）設，根據勾股定理列方程可得的值，從而得DE，AE的值，證明△AED∽△BDM，利用相似三角形的性質可得DM的長； （2）正方形OABC的周長為 ，設，表示，根據勾股定理建立之間的關系式，由（1）中的相似列比例式可表示BM ，DM ，計算△BMD的周長為，代入可求得m的值； （3）先利用與已知條件得到與的關系，寫出拋物線的解析式，可得對稱軸，將（2）中的m代入：得到3≤x≤7時，y有最大值，按開口方向分情況討論可得結論．

解：（1）設，依題意有：，，，

在中，，解得．

∵ED⊥DM， ∴∠EDM=∠ADE+∠BDM=90°，

∵∠ADE+∠AED=90°， ∴∠AED=∠EDM，

∵∠DAE=∠MBD=90°，

∴，

∴，即，

∴，即線段的長為．

（2）設，，則有，，

在中，，整理得：．

由可得：，

從而有：，可得，，

∴，

即，將代入，可得．

又∵，∴；∴為定值．

（3）∵拋物線經過，∴，

由，可得，

∴，其對稱軸為．

由可知當時，函數的最大值為，

于是有：當時，當時有，此時；

當時，當時有，此時．

綜上所述，二次項系數的值為或．