Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的一邊AB在x軸上，∠ABC=90°，點C（4，8）在第一象限內，AC與y軸交于點E，拋物線經過A、B兩點，與y軸交于點D（0，﹣6）．

（1）請直接寫出拋物線的表達式；

（2）點P是x軸下方拋物線上一動點，設點P的橫坐標為m，△PAC的面積為S，試求出S與m的函數關系式；

（3）若點M是x軸正半軸上一點（不與點A重合），拋物線上是否存在點N，使∠CAN=∠MAN．若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）N

【解析】

（1）先確定B（4，0），再利用待定系數法求出拋物線解析式為y= ；
（2）先利用待定系數法求得直線AC的解析式為y= ，作PQ∥y軸交AC于Q，設P（m，），則Q（m，），則PQ= ，然后根據三角形面積公式，利用S=S△PAQ+S△PCQ計算即可；
（3）如圖2，當點M在x的正半軸，AN交BC于F，作FH⊥AC于H，根據角平分線的性質得FH=FB，易得AH=AB=6，再利用∠ACB的余弦可求出CF=5，則F（4，3），接著求出直線AF的解析式為y= x+1，于是通過解方程組得N點坐標為（）

（1）∵BC⊥x軸，點C（4，8），
∴B（4，0），
把B（4，0），D（0，-6）代入y=得，解得

∴拋物線解析式為

（2）設直線AC的解析式為y=px+q，
把A（-2，0），C（4，8）代入得，解得

∴直線AC的解析式為

如圖1，作PQ∥y軸交AC于Q，

設，則Q

（3）圖2，當點M在x的正半軸，AN交BC于F，作FH⊥AC于H，則FH=FB，
易得AH=AB=6，

∴F（4，3），

易得直線AF的解析式為

解方程組得或

∴N點坐標為