Question

如圖，正方形ABCD的邊長為2cm，E、F、G、H分別從A、B、C、D向B、C、D、A同時以0.5cm/s的速度移動，設運動時間為t（s）．
（1）求證：△HAE≌△EBF；
（2）設四邊形EFGH的面積為S（cm²），求S與t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）畫出（2）的圖象，利用圖象回答t為何值時，S最小，是多少？

Answer 1

分析：（1）根據E、F、G、H四點的運動速度相等即可得到AE=BF=CG=DH，從而利用正方形的性質得到EB=FC=GD=HA，從而判斷兩三角形全等；
（2）首先利用正方形的定義判定四邊形HEFG是正方形，用t表示出其邊長，利用其面積計算方法求得其面積即可；
（3）通過觀察函數的圖象，找到圖象的最低點即可找到其最小值．

解答：（1）證明：∵E、F、G、H分別從A、B、C、D向B、C、D、A同時以0.5cm/s的速度移動，
∴AE=BF=CG=DH，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴EB=FC=GD=HA，∠A=∠B=90°，
△HAE≌△EBF；   （3分）

（2）解：依題意得DH=AE=0.5t，則AH=2-0.5t
Rt△AEH中，HE²=AH²+AE²
又由（1）△HAE≌△EBF可得∠DHG+∠AHE=90°
∴四邊形HEFG是正方形
∴S=HE2=AH2+AE2=(0.5t)2+(2-0.5t)2=

1

2

t2-2t+4(0≤t≤4)；（7分）

（3）解：由圖象可知，當t=2時S最小，S_最小=2．（11分）

點評：本題考查了二次函數的綜合知識，題目中還考查了正方形的性質，綜合性較強．