Question

如圖，正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上，連接BE、DG．
（1）若ED：DC=1：2，EF=12，試求DG的長．
（2）觀察猜想BE與DG之間的關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據正方形性質得出∠DCG=90°，CG=EF=CE=12，求出CD，根據勾股定理求出DG即可；
（2）根據正方形性質得出∠DCG=∠ECB=90°，CE=CG，CD=BC，根據SAS證△DCG≌△BCE，推出BE=DG，∠1=∠2，求出∠1+∠3=90°，根據三角形的內角和定理求出∠EHD=90°，即可退出BE⊥DG，

解答：（1）解：∵四邊形EFGC是正方形，
∴∠DCG=90°，CG=EF=CE=12，
∵ED：DC=1：2，
∴CD=8，
在Rt△DCG中，由勾股定理的：DG=

DC2+CG2

=

82+122

=4

13

；

（2）BE與DG之間的關系是BE=DG，BE⊥DG，
證明：延長GD交BE于H，
∵四邊形ABCD和四邊形EFGC是正方形，
∴∠DCG=∠ECB=90°，CE=CG，CD=BC，
∵在△DCG和△BCE中

CG=CE ∠DCG=∠BCE DC=BC

，
∴△DCG≌△BCE（SAS），
∴BE=DG，∠1=∠2，
∵∠3=∠4，∠2+∠4=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠EHD=180°-90°=90°，
∴BE⊥DG，
即BE與DG之間的關系是BE=DG，BE⊥DG．

點評：本題考查了正方形性質，勾股定理，全等三角形的性質和判定，三角形的內角和定理，垂直的定義等知識點，主要考查學生的推理能力和猜想能力，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．