Question

如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)M為半圓的中點(diǎn)，點(diǎn)P為另一半圓上一點(diǎn)（不與A、B重合），點(diǎn)I為△ABP的內(nèi)心，IN⊥BP于N，下列結(jié)論：
①∠APM=45°；②AB=

2

IM；③∠BIM=∠BAP；④

IN+OB

PM

=

2

2

．

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：①連接OM．根據(jù)“同弧所對(duì)的圓周角是所對(duì)的圓心角的一半”進(jìn)行解答；
②連接AM、BM．根據(jù)三角形PIB的外角定理、三角形的內(nèi)心的定義證得△MBI的兩邊MB=IM；根據(jù)勾股定理求得AB=

2

MB．易證該結(jié)論；
③利用反證法證明；
④根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓半徑公式、圓的半徑與直徑是數(shù)量關(guān)系求得IN+OB=

1

2

（AP+BP）；然后借助折弦定理證得結(jié)論．

解答：解：①如圖，連接OM．
∵點(diǎn)M是半圓的中點(diǎn)，
∴∠AOM=90°．
又∠APM=

1

2

∠AOM，
∴∠APM=45°；
故本選項(xiàng)正確；

②連接AM、BM．
∵點(diǎn)M是半圓的中點(diǎn)，
∴AM=BM，
∴AB=

2

MB．
設(shè)∠ABI=α，則∠MIB=45°+∠PBI=45°+α=∠MBI，
∴MB=IM．
∴AB=

2

IM；
故本選項(xiàng)正確；

③設(shè)∠PBA=β．
∵點(diǎn)I為△ABP的內(nèi)心，
∴PI、BI分別是∠APB、∠ABP的角平分線，
∴∠PIB=∠PIN+（90°-

1

2

β）=135°-

1

2

β．
若∠BIM=∠BAP，則有∠BIM+∠PIB=∠BAP+∠PIB=90°-β+135°-

1

2

β=180°，
∴β=30°．
∵P點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn)，
∴不能保證∠PBA=30°；
∴∠BIM與∠BAP不一定相等．
故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

④根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓半徑公式知，IN=

AP+BP-AB

2

，則IN+OB=

1

2

（AP+BP），
折弦求和得，AP+BP=

2

PM，
∴

IN+OB

PM

=

2

2

；
故本選項(xiàng)正確；
綜上所述，正確的結(jié)論有3個(gè)．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題．本題涉及到的知識(shí)點(diǎn)有：圓周角定理，直角三角形的內(nèi)切圓半徑公式，三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，綜合性比較強(qiáng)，難度較大．