Question

【題目】如圖，延長平行四邊形ABCD的邊DC到點E，使CE=DC，連接AE，交BC于點F，連接AC、BE．

（1）求證：BF=CF；

（2）若AB=2，AD=4，且∠AFC=2∠D，求平行四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）平行四邊形ABCD的面積= 4．

【解析】試題分析：（1）根據平行四邊形的性質得到AB∥CD，AB=CD，然后根據CE=DC，得到AB=EC，AB∥EC，利用“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”判斷即可；

（2）由（1）得的結論先證得四邊形ABEC是平行四邊形，通過角的關系得出FA=FE=FB=FC，AE=BC，得出四邊形ABEC是矩形，得出∠BAC=90°，由勾股定理求出AC，即可得出平行四邊形ABCD的面積．

試題解析：

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD，BC=AD，

∵CE=DC，∴AB=EC，AB∥EC，∴四邊形ABEC是平行四邊形，∴BF=CF；

（2）解：∵由（1）知，四邊形ABEC是平行四邊形，∴FA=FE，FB=FC．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC=∠D．又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC．

∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，∴∠ABC=∠BAF，∴FA=FB，∴FA=FE=FB=FC，∴AE=BC，

∴四邊形ABEC是矩形，∴∠BAC=90°，

∵BC=AD=4，∴AC===2，

∴平行四邊形ABCD的面積=ABAC=2×2=4．