Question

【題目】如圖1，矩形ABCD中，AB=7cm，AD=4cm，點(diǎn)E為AD上一定點(diǎn)，F(xiàn)為AD延長線上一點(diǎn)，且DF=acm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)停止，連結(jié)PE，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts，△PAE的面積為ycm2 ， 當(dāng)0≤t≤1時(shí)，△PAE的面積y（cm2）關(guān)于時(shí)間t（s）的函數(shù)圖象如圖2所示，連結(jié)PF，交CD于點(diǎn)H．

（1）t的取值范圍為 ， AE=cm；
（2）如圖3，將△HDF沿線段DF進(jìn)行翻折，與CD的延長線交于點(diǎn)M，連結(jié)AM，當(dāng)a為何值時(shí)，四邊形PAMH為菱形？
（3）在（2）的條件下求出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t．

Answer 1

【答案】
（1）0≤t≤3.5；1
（2）

解：如圖3，

∵四邊形AMHP是菱形，

∴AM=MH=2DM，AM∥PF，

∵∠ADM=90°，DM= AM，

∴∠MAD=30°，

∴∠PFA=MFA=∠MAD=30°，

∴MA=MF，

∵M(jìn)D⊥AF，

∴AD=DF=4，

∴a=4．

（3）

解：當(dāng)a=4cm時(shí)，F(xiàn)A=AD+DF=8cm，

令PA=x，則PF=2x，

根據(jù)勾股定理可得，PF2=PA2+AF2，

即（2x）2=x2+82，

解得x= ，（負(fù)值已舍去）

∴P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 ÷2= 秒

【解析】解：（1）∵AB=7，而7÷2=3.5，
∴0≤t≤3.5，
由題意可知，y= ×2t×AE，
由圖2可知，當(dāng)t=0.5時(shí)，y=0.5，
∴0.5= ×2×0.5×AE，
∴AE=1，
故答案分別為：0≤t≤3.5，1；
（1）根據(jù)AB的長以及點(diǎn)P的移動(dòng)速度，可以確定t的范圍；根據(jù)題意可知，y= ×2t×AE，由圖2可知，當(dāng)t=0.5時(shí)，y=0.5，進(jìn)而得出0.5= ×2×0.5×AE，即可求出AE．（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)以及軸對(duì)稱的性質(zhì)，即可證明∠MAD=∠MFD=30°，最后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可解決問題．（3）令PA=x，則PF=2x，根據(jù)勾股定理可得，PF2=PA2+AF2 ， 即可得出方程（2x）2=x2+82 ， 求得x的值即可得到點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t．