Question

【題目】如圖，已知△ABC，直線PQ垂直平分AC，與邊AB交于E，連接CE，過點C作CF平行于BA交PQ于點F，連接AF．

（1）求證：△AED≌△CFD；

（2）求證：四邊形AECF是菱形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）由作圖知：PQ為線段AC的垂直平分線，從而得到AE=CE，AD=CD，然后根據CF∥AB得到∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，利用ASA證得兩三角形全等即可；

（2）根據全等得到AE=CF，然后根據EF為線段AC的垂直平分線，得到EC=EA，FC=FA，從而得到EC=EA=FC=FA，利用四邊相等的四邊形是菱形判定四邊形AECF為菱形．

試題解析：（1）由作圖知：PQ為線段AC的垂直平分線，

∴AE=CE，AD=CD

∵CF∥AB，

∴∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED

∴在△AED與△CFD中，

∠EAC＝∠FCA

AD＝CD

∠CFD＝∠AED

∴△AED≌△CFD；

（2）∵△AED≌△CFD

∴AE=CF

∵EF為線段AC的垂直平分線，

∴EC=EA，FC=FA

∴EC=EA=FC=FA

∴四邊形AECF為菱形