Question

【題目】如圖，點A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延長線相交于點C．若AB是⊙O的直徑，D是BC的中點．

（1）試判斷AB、AC之間的大小關系，并給出證明；
（2）在上述題設條件下，當△ABC為正三角形時，點E是否AC的中點？為什么？

Answer 1

【答案】
（1）AB=AC，

證明：連結AD，

∵AB是⊙O的直徑

∴∠ADB=90°，

即AD⊥BC，

∵BD=DC，

∴AB=AC

（2）解：當△ABC為正三角形時，E是AC的中點，

連接BE，

∵AB為直徑，

∴∠BEA=90°，

即BE⊥AC，

∵△ABC為正三角形，

∴AE=EC，

即E是AC的中點

【解析】（1）連接AD，根據圓周角定理求出∠ADB=90°，根據線段垂直平分線性質推出即可；（2）根據圓周角定理求出∠AEB=90°，根據等腰三角形性質求出即可．