Question

（1）已知：如圖1，在△ABC中，D、F分別是AB、CA上的兩個定點，在BC上找一點E，使△DEF的周長最小，請作出相應圖形并寫出作法；
（2）已知：如圖2，在△ABC中，若在上一題的條件改為D是AB上一定點，在BC、CA、上分別找一點E、F使△DEF的周長最小，請作出相應圖形并寫出作法；
（3）已知：如圖3，在△ABC中，是否存在D、E、F分別在AB、BC、CA，且△DEF的周長最�。咳舸嬖谡堊鞒鱿鄳獔D形并寫出作法；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）作點D關于BC的對稱點D′，然后連接D′F交BC于點E，則點E即為所求作的點；
（2）作點D關于BC的對稱點D′，作點D關于AC的對稱點D″，然后連接D′D″交BC于點E，交AC于點F，則點E、F即為所求作的點；
（3）先過A作AE⊥BC于點E，再作點E關于AB的對稱點E′，作點E關于AC的對稱點E″，連接E′E″交AB于點D，交AC于點F，順次連接即可得到所求作的△DEF．

解答：解：（1）如圖1，作點D關于BC的對稱點D′連接D′F交BC于E，則△DEF為所求；

（2）如圖2，作點D關于BC、AC的對稱點D′、D″，連接D′D″交BC、AC于E、F，則△DEF為所求；


（3）如圖3，過A作AE⊥BC，過點E分別作AB、AC的對稱點E′、E″連接E′E″交AB、AC于D、E，則△DEF為所求．

點評：本題考查了利用軸對稱確定最短路線問題，其理論依據是三角形的兩邊之和大于第三邊，作出對稱點是解題的關鍵．