Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=5，過點A、B作⊙O，交AD，BC于點E，F，連接BE，CE，過點F作FG⊥CE，垂足為G．

（1）當點F是BC的中點時，求證：直線FG與⊙O相切；
（2）若FG∥BE時，求AE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OF，

∵點F是BC的中點，

∴BF=CF，

在矩形ABCD中，∵∠A=90°，

∴BE是⊙O的直徑，

∴BO=OE，

∴OF∥CE，

∵FG⊥CE，

∴OF⊥FG，

∴直線FG與⊙O相切

（2）解：∵FG∥BE，FG⊥CE，

∴BE⊥CE，

∴∠AEB+∠DEC=90°，

∵∠ABE+∠AEB=90°，

∴∠ABE=∠DEC，

∵∠A=∠D=90°，

∴△ABE∽△CDE，

∴ ，

∵AB=2，AD=5，

∴CD=AB=2，

∴ ，

∴AE=1，或AE=4．

【解析】（1）連接OF，由點F是BC的中點，得BF=CF，在矩形ABCD中，∵∠A=90°，得BE是⊙O的直徑，求得BO=OE，根據三角形得中位線得OF∥CE，證得OF⊥FG即可；（2）根據平行線的性質得到BE⊥CE，由余角的性質得到∠ABE=∠DEC證得△ABE∽△CDE，根據相似三角形得性質就可求出答案。
【考點精析】關于本題考查的平行線的性質和三角形中位線定理，需要了解兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補；連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半才能得出正確答案．