Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，點P的坐標為（x1，y1），點Q的坐標為（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q為某個矩形的兩個頂點，且該矩形的邊均與某條坐標軸垂直，則稱該矩形為點P，Q的“相關矩形”，如圖為點P，Q的“相關矩形”示意圖．

（1）已知點A的坐標為（1，0），

①若點B的坐標為（3，1），求點A，B的“相關矩形”的面積；

②點C在直線x=3上，若點A，C的“相關矩形”為正方形，求直線AC的表達式；

（2）正方形RSKT頂點R的坐標為（-1，1），K的坐標為（2，-2），點M的坐標為（m，3），若在正方形RSKT邊上存在一點N，使得點M，N的“相關矩形”為正方形，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①2，②y=x﹣1或y=﹣x+1；（2）1≤m≤7或0≤m≤6

【解析】試題分析：

（1）①由相關矩形的定義可知：要求A與B的相關矩形面積，則AB必為對角線，利用A、B兩點的坐標即可求出該矩形的底與高的長度，進而可求出該矩形的面積；

②由定義可知，AC必為正方形的對角線，所以AC與x軸的夾角必為45°，設直線AC的解析式為；y=kx+b，由此可知k=±1，再（1，0）代入y=kx+b，即可求出b的值；

（2）由定義可知，MN必為相關矩形的對角線，若該相關矩形的為正方形，即直線MN與x軸的夾角為45°，利用直線平行可以求出m的范圍．

試題解析：（1）①∵A（1，0），B（3，1）

由定義可知：點A，B的“相關矩形”的底與高分別為2和1，

∴點A，B的“相關矩形”的面積為2×1=2；

②由定義可知：AC是點A，C的“相關矩形”的對角線，

又∵點A，C的“相關矩形”為正方形

∴直線AC與x軸的夾角為45°，

設直線AC的解析為：y=x+m或y=﹣x+n

把（1，0）分別y=x+m，

∴m=﹣1，

∴直線AC的解析為：y=x﹣1，

把（1，0）代入y=﹣x+n，

∴n=1，

∴y=﹣x+1，

綜上所述，若點A，C的“相關矩形”為正方形，直線AC的表達式為y=x﹣1或y=﹣x+1；

（2）設直線MN的解析式為y=kx+b，

∵點M，N的“相關矩形”為正方形，

∴由定義可知：直線MN與x軸的夾角為45°，

∴k=±1，

∵點N在正方形邊上，

∴當直線MN與正方形有交點時，點M，N的“相關矩形”為正方形，

當k=1時，

作過R與K的直線與直線MN平行，

將（-1,1）和（2，-2）分別代入y=x+b

得b=2 或b=-4

把M（m，3）代入y=x+2和y=x-4，

得m=1 m=7

∴1≤m≤7，

當k=﹣1時，把(-1,-2) (2,1)代入y=﹣x+b，

∴b=-3 b=3，

把M（m，3）代入y=-x-3和y=-x+3，

得m=0 m=6

∴0≤m≤6；

綜上所述，當點M，N的“相關矩形”為正方形時，m的取值范圍是：1≤m≤7或0≤m≤6