Question

【題目】我們知道平行四邊形有很多性質(zhì)，現(xiàn)在如果我們把平行四邊形沿著它的一條對角線翻折，會發(fā)現(xiàn)這其中還有更多的結(jié)論．

（發(fā)現(xiàn)與證明）在ABCD中，AB≠BC，將△ABC沿AC翻折至△AB′C，連結(jié)B′D．

（1）填空：B′E DE（填“<，＝，>”）；

（2）求證：B′D∥AC；

（應用與探究）

(3)在ABCD中，已知：BC=4，∠B=60°，將△ABC沿AC翻折至△AB′C，連結(jié)B′D．若以A、C、D、B′為頂點的四邊形是矩形，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）=；（2）見解析；（3）2或4.

【解析】

(1)由平行四邊形的性質(zhì)得出∠EAC=∠ACB，由翻折的性質(zhì)得出∠ACB=∠ACB′，證出∠EAC=∠ACB'，得出AE=CE；從而DE=B'E

(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出DE=B'E，證出∠B′DA=(180∠B′ED)，由∠AEC=∠B'ED，得出∠ACB'=∠CB'D，即可得出B'D//AC；
(3)分兩種情況：①由矩形的性質(zhì)得出∠CAB'=90°，得出∠BAC=90°，再由30°直角三角形性質(zhì)即可求出AC=2；②由矩形的性質(zhì)和已知條件得出AC=4．

（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，AD//BC，

∴∠EAC=∠ACB，

∵△ABC≌△AB'C，

∴∠ACB=∠ACB'，BC=B'C，

∴∠EAC=∠ACB'，

∴AE=CE，

∴DE=B′E；

故答案為=.

（2）證明：∵DE=B'E

∴∠C B'D=∠B’DA=(180-∠B'ED)

∵∠AEC=∠B'ED

∴∠AC B'=∠C B'D

∴B'D∥AC

（3）解：情況一：如圖1

∵四邊形ACDB’是矩形，

∴∠CAB’=90°，

∴∠BAC=90°

∵∠B=60°

∴AC=BC=2

情況二：如圖2

∵四邊形ACB’D是矩形，

∴∠ACB’=90°

∴∠ACB=90°

∵BC=4，∠B=60°

∴AC=4，

綜上所述：ACAC的長為2或4．