Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系內，點 O 為坐標原點，點 A 在 x 軸負半軸上，點 B、C 分別在 x 軸、y 軸正半軸上，且 OB=2OA，OB﹣OC=OC﹣OA=2．

（1）求點 C 的坐標；

（2）點 P 從點 A 出發以每秒 1 個單位的速度沿 AB 向點 B 勻速運動，同時點 Q 從點 B 出發 以每秒 3 個單位的速度沿 BA 向終點 A 勻速運動，當點 Q 到達終點 A 時，點 P、Q 均停止運 動，設點 P 運動的時間為 t 秒（t＞0），線段 PQ 的長度為 y，用含 t 的式子表示 y，并寫出 相應的 t 的范圍；

（3）在（2）的條件下，過點 P 作 x 軸的垂線 PM，PM=PQ，是否存在 t 值使點 O 為 PQ 中 點？若存在求 t 值并求出此時三角形 CMQ 的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點 C 的坐標為（0，6）；（2）y=12﹣4t（0＜t≤3），y=4t﹣12（3＜t≤4）；（3）存在 t 值使點 O 為 PQ 中點，三角形 CMQ 的面積為：8 或 16．

【解析】分析：（1）設A（x，0），則OA=-x，OB=-2x，OC=-2x-2，進而可得B（-2x，0），C（0，-2x-2），然后根據OC-OA=2，可得x=-4，進而可得點C的坐標；
（2）由（1）可知AB=OA+OB=12，由點Q從點B出發以每秒3個單位的速度沿BA向終點A勻速運動，當點Q到達終點A時，點P、Q均停止運動，可得t的最大值為4秒，然后求出P、Q兩點相遇時的t的值為：12÷（1+3）=3秒，然后分兩種情況討論即可：①0＜t≤3；②3＜t≤4；
（3）點O為PQ中點，可知0＜t≤3，OP=OQ，即OA-AP=OB-BP，進而可求t的值；然后分兩種情況討論即可：①點M在x軸上方；②點M在x軸下方．

詳解：（1）∵點A在x軸負半軸上，點B、C分別在x軸、y軸正半軸上，OB=2OA，

OB﹣OC=OC﹣OA=2．設A（x，0），

∴OA=﹣x，OB=﹣2x，OC=﹣2x﹣2，

∴B（﹣2x，0），C（0，﹣2x﹣2），

∵OC﹣OA=2，

∴﹣2x﹣2﹣（﹣x）=2，解得：x=﹣4，

∴OA=4，OB=8，OC=6，點A的坐標為（﹣4，0），點B的坐標為（8，0），點C的坐標為（0，6）；

（2）由（1）知：AB=OA+OB=12，

∵點P從點A出發以每秒1個單位的速度沿AB向點B勻速運動，同時點Q從點B出發以每秒3個單位的速度沿BA向終點A勻速運動，

∴點P運動的時間為t（t＞0）秒時，AP=t，BQ=3t，當P、Q兩點相遇時的t的值為：12÷（1+3）=3秒，

∵當點Q到達終點A時，點P、Q均停止運動，

∴t的最大值為12÷3=4秒.

①當0＜t≤3時，如圖1，

PQ=AB﹣AP﹣QB=12﹣t﹣3t=12﹣4t，

即y=12﹣4t（0＜t≤3）；

②當3＜t≤4時，如圖2，

PQ=AP+BQ-AB=4t-12,即y=4t-12().

（3）存在t值使點O為PQ中點，

∵點O為PQ中點，

∴0＜t≤3，OP=OQ，即OA﹣AP=OB﹣BQ，

∴4-t=8-3t,

當t=2時，AP=2，OP=2，OQ=2，PQ=4，PM=PQ=4，

①點M在x軸上方時，如圖3，

過點C作CN⊥PM，得：四邊形CNPQ是梯形，

∵S△CMQ=S梯形CNPQ﹣S△CNM﹣S△PQM，

∴S△CMQ=（CN+PQ）×PN﹣CNMN﹣PMPQ，

=（OP+PQ）×OC﹣×OP×（OC﹣PM）﹣×4×4，

=（2+4）×6﹣2×（6﹣4）﹣8，

=18﹣2﹣8，

=8；

②點M在x軸下方，如圖4．

過點C作CN⊥PM，得：四邊形CNPQ是梯形，

∵S△CMQ=S梯形CNPQ+S△PQM﹣S△CNM，

∴S△CMQ=（CN+PQ）PN+PQPM﹣MNCN，

=（OP+PQ）×OC+×4×4﹣（OC+PM）OP，

=（2+4）×6+8﹣（6+4）×2，

=+8﹣，

=18+8﹣10，

=16．

∴三角形CMQ的面積為：8或16．