Question

如圖，已知點O為Rt△ABC斜邊AB上一點，以O為圓心，OA為半徑的圓與BC相切于點D，與AB相交于點E．
（1）試判斷AD是否平分∠BAC？并說明理由．
（2）若BD=3BE，CD=3，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）本小題有多種證法；
方法1：作輔助線，連接OD；根據切線的性質知：OD⊥BC；由∠C=90°，可得：OD∥AC，∠1=∠2；再根據OA=OD，可得：∠2=∠3，從而得：∠1=∠3，故AD平分∠BAC；
方法2：作輔助線，連接ED；由AE為⊙O的直徑，可知：∠ADE=∠3+∠AED=90；由∠C=90°，得：∠1+∠ADC=90°；再根據∠AED=∠ADC，可得：∠1=∠3，故AD平分∠BAC；
方法3，作輔助線，連接EF、DF；由AE為⊙O的直徑，可知：∠AFE=90°；進而可證：EF∥BC，∠4=∠5；再根據∠4=∠3，∠1=∠5，從而可證：∠1=∠3，故AD平分∠BAC；
（2）解法1，根據切割線定理，可將AB的長求出，再根據OD∥AC，得出關于OB、OA、BD、BC的比例關系式；由此可將⊙O的半徑求出；
解法2，作輔助線，過點O作OG⊥AC交AC于點G；根據OG∥BC，后同解法1．

解答：解：（1）判斷：AD平分∠BAC．
證明：
證法一：連接OD；
∵BC切⊙O于D，
∴OD⊥BC，
又△ABC為Rt△，且∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∴OD∥AC，
∴∠1=∠2；
又∵OA=OD，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3．

證法二：連接ED；
∵AE是⊙O直徑，
∴∠ADE=90°，
∴∠3+∠AED=90°；
又∵∠C=90°，
∴∠1+∠ADC=90°，
又∵∠AED=∠ADC，
∴∠1=∠3．

證法三：連接EF，DF；
∵AE是⊙O直徑，
∴∠AFE=90°，
又∵∠ACE=90°，
∴∠AFE=∠ACB，
∴EF∥BC，
∴∠4=∠5；
又∵∠3=∠4，∠1=∠5，
∴∠1=∠3．

（2）
解法一：設BE=x，則BD=3BE=3x，
據切割線定理得BD²=BE×BA，
得AB=9x，OA=OE=4x；
又∵OD∥AC，
∴

OB

OA

=

BD

CD

，即：

5x

4x

=

3x

3

，
∴x=

5

4

，
∴⊙O的半徑為5．

解法二：
如圖，過O作OG⊥AC，又AC⊥BC，OD⊥BC，
則四邊形ODCG為矩形．
∴OG=CD=3，OG∥BC；
又OG∥BC，
∴

OG

BC

=

OA

AB

，
∴

3

3x+3

=

4x

9x

，
∴x=

5

4

，x=0，（舍去）
∴⊙O的半徑為5．
備注：本解法是在解法一得AB=9x，OA=OE=4x的基礎上進行的．

點評：本題主要考查切線的性質及切割線定理，在解題過程中要運用相似三角形的判定等知識．