Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，△AOB的頂點O為坐標原點，點A的坐標為（4，0），點B的坐標為（0，1），點C為邊AB的中點，正方形OBDE的頂點E在x軸的正半軸上，連接CO，CD，CE．

（1）線段OC的長為；
（2）求證：△CBD≌△COE；
（3）將正方形OBDE沿x軸正方向平移得到正方形O1B1D1E1 ， 其中點O，B，D，E的對應點分別為點O1 ， B1 ， D1 ， E1 ， 連接CD，CE，設點E的坐標為（a，0），其中a≠2，△CD1E1的面積為S．
①當1＜a＜2時，請直接寫出S與a之間的函數表達式；
②在平移過程中，當S= 時，請直接寫出a的值．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）

證明：∵∠AOB=90°，點C是AB的中點，

∴OC=BC= AB，

∴∠CBO=∠COB，

∵四邊形OBDE是正方形，

∴BD=OE，∠DBO=∠EOB=90°，

∴∠CBD=∠COE，

在△CBD和△COE中，

，

∴△CBD≌△COE（SAS）

（3）

解：①解：過點C作CH⊥D1E1于點H，

∵C是AB邊的中點，

∴點C的坐標為：（2， ）

∵點E的坐標為（a，0），1＜a＜2，

∴CH=2﹣a，

∴S= D1E1CH= ×1×（2﹣a）=﹣ a+1；

②當1＜a＜2時，S=﹣ a+1= ，

解得：a= ；

當a＞2時，同理：CH=a﹣2，

∴S= D1E1CH= ×1×（a﹣2）= a﹣1，

∴S= a﹣1= ，

解得：a= ，

綜上可得：當S= 時，a= 或 ．

【解析】解：（1）∵點A的坐標為（4，0），點B的坐標為（0，1），
∴OA=4，OB=1，
∵∠AOB=90°，
∴AB= = ，
∵點C為邊AB的中點，
∴OC= AB= ；故答案為： ．
（1）由點A的坐標為（4，0），點B的坐標為（0，1），利用勾股定理即可求得AB的長，然后由點C為邊AB的中點，根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可求得線段OC的長；（2）由四邊形OBDE是正方形，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，易得BD=OE，BC=OC，∠CBD=∠COE，即可證得：△CBD≌△COE；（3）①首先根據題意畫出圖形，然后過點C作CH⊥D1E1于點H，可求得△CD1E1的高與底，繼而求得答案；
②分別從1＜a＜2與a＞2去分析求解即可求得答案． 此題屬于四邊形的綜合題．考查了正方形的性質、直角三角形的性質、勾股定理、全等三角形的判定與性質以及三角形面積問題．注意掌握輔助線的作法，注意掌握分類討論思想的應用是解此題的關鍵．