Question

【題目】如圖，ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=，對角線BD、AC交于點O．將直線AC繞點O順時針旋轉分別交BC、AD于點E、F．

（1）試說明在旋轉過程中，AF與CE總保持相等；

（2）證明：當旋轉角為90°時，四邊形ABEF是平行四邊形；

（3）在旋轉過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不能請說明理由；如果能，求出此時AC繞點O順時針旋轉的角度．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）45°

【解析】

試題分析：（1）根據平行四邊形的對邊平行可得AD∥BC，對角線互相平分可得OA=OC，再根據兩直線平行，內錯角相等求出∠1=∠2，然后利用“角邊角”證明△AOF和△COE全等，根據全等三角形對應邊相等即可得到AF=CE；

（2）根據垂直的定義可得∠BAO=90°，然后求出∠BAO=∠AOF，再根據內錯角相等，兩直線平行可得AB∥EF，然后根據平行四邊形的對邊平行求出AF∥BE，再根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形證明；

（3）根據（1）的結論可得AF=CE，再求出DF∥BE，DF=BE，然后根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形求出四邊形BEDF平行四邊形，再求出對角線互相垂直的平行四邊形是菱形可得EF⊥BD時，四邊形BEDF是菱形；根據勾股定理列式求出AC=2，再根據平行四邊形的對角線互相平分求出AO=1，然后求出∠AOB=45°，再根據旋轉的定義求出旋轉角即可．

解：（1）在ABCD中，AD∥BC，OA=OC，

∴∠1=∠2，

在△AOF和△COE中，，

∴△AOF≌△COE（ASA），

∴AF=CE；

（2）由題意，∠AOF=90°（如圖2），

又∵AB⊥AC，

∴∠BAO=90°，

∠AOF=90°，

∴∠BAO=∠AOF，

∴AB∥EF，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

即：AF∥BE，

∵AB∥EF，AF∥BE，

∴四邊形ABEF是平行四邊形；

（3）當EF⊥BD時，四邊形BEDF是菱形（如圖3）．

∵ABCD，AF=CE，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴DF∥BE，DF=BE，

∴四邊形BEDF是平行四邊形，

又∵EF⊥BD，

∴BEDF是菱形，

∵AB⊥AC，

∴在△ABC中，∠BAC=90°，

∴BC2=AB2+AC2，

∵AB=1，BC=，

∴AC===2，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OA=AC=×2=1，

∵在△AOB中，AB=AO=1，∠BAO=90°，

∴∠1=45°，

∵EF⊥BD，

∴∠BOF=90°，

∴∠2=∠BOF﹣∠1=90°﹣45°=45°，

即：旋轉角為45°．