Question

【題目】已知正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O．

（1）如圖1，E，G分別是OB，OC上的點，CE與DG的延長線相交于點F．若DF⊥CE，求證：OE＝OG；

（2）如圖2，H是BC上的點，過點H作EH⊥BC，交線段OB于點E，連結DH交CE于點F，交OC于點G．若OE＝OG，

①求證：∠ODG＝∠OCE；

②當AB＝1時，求HC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②HC=．

【解析】

（1）要證明OE=OG，只要證明△DOG≌△COE（ASA）即可；
（2）①要證明∠ODG=∠OCE，只要證明△ODG≌△OCE即可；
②設CH=x，由△CHE∽△DCH，可得=，即HC2=EHCD，由此構建方程即可解決問題；

（1）證明：如圖1中，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，OD=OC，

∴∠DOG=∠COE=90°，

∴∠OEC+∠OCE=90°，

∵DF⊥CE，

∴∠OEC+∠ODG=90°，

∴∠ODG=∠OCE，

∴△DOG≌△COE（ASA），

∴OE=OG．

（2）①證明：如圖2中，

∵AC，BD為對角線，

∴OD=OC，

∵OG=OE，∠DOG=∠COE=90°，

∴△ODG≌△OCE，

∴∠ODG=∠OCE．

②解：設CH=x，

∵四邊形ABCD是正方形，AB=1，

∴BH=1-x，∠DBC=∠BDC=∠ACB=45°，

∵EH⊥BC，

∴∠BEH=∠EBH=45°，

∴EH=BH=1-x，

∵∠ODG=∠OCE，

∴∠BDC-∠ODG=∠ACB-∠OCE，

∴∠HDC=∠ECH，

∵EH⊥BC，

∴∠EHC=∠HCD=90°，

∴△CHE∽△DCH，

∴=，

∴HC2=EHCD，

∴x2=（1-x）1，

解得x=或（舍棄），

∴HC=．