Question

如圖，某工件形狀如圖所示，等腰Rt△ABC中斜邊AB=4，點O是AB的中點，以O為圓心的圓分別與兩腰相切于點D、E，則圖中陰影部分的面積是（　　）

• A、2-

  π

  2

• B、

  π

  2

• C、3-

  π

  2

• D、2-π

Answer 1

分析：本題需先求出直角三角形的邊長，再利用切線的性質和等腰直角三角形的性質得出四邊形CDOE是正方形，然后分別求出直角三角形ABC、扇形FOD，正方形CDOE，扇形EOG的面積，即可求出陰影部分的面積．

解答：解：設AC=BC=x，
則x²+x²=4
x=2

2

∴AC=BC=2

2

設OD=R，則OE=R
∵AC，BC與⊙O相切，
∴OD⊥AD，OE⊥BC
∵∠A=45°
∴∠AOD=45°
∴∠A=∠AOD
∴AD=OD=R
∵AC=2

2

∵AC=2

2

∴AD=OD
∵∠C=90°
∴四邊形ODCE是正方形
∴CD=CE=OD=AD=

2

∴S_{正方形CDOE}=(

2

)2=2
S_扇形FOD=S_扇形EOG=

45π( 2 )2

360

=

π

4

∴陰影部分的面積是2-

π

2

故選A

點評：本題主要考查了扇形面積的求法，在解題時要注意面積計算公式和圖形的有關性質的綜合應用．