Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D在線段AB上，以AD為直徑的⊙O與BC相交于點E，與AC相交于點F，∠B=∠BAE=30°．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）若AC=3，求⊙O的半徑r；

（3）在（1）的條件下，判斷以A、O、E、F為頂點的四邊形為哪種特殊四邊形，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）⊙O的半徑為2；（3）四邊形OAFE是菱形，理由見解析.

【解析】（1）利用等腰三角形的性質和三角形外角的性質得出∠AOE=60°，進而得出∠BEO=90°，即可得出結論；

（2）先求出∠AEC=60°，利用銳角三角函數求出AE，最后用三角函數即可得出結論；

（3）先判斷出△AOF是等邊三角形，得出OA=AF，∠AOF=60°，進而判斷出△OEF是等邊三角形，即可判斷出四邊相等，即可得出結論．

（1）如圖1，

連接OE，∴OA=OE，

∴∠BAE=∠OEA，

∵∠BAE=30°，

∴∠OEA=30°，

∴∠AOE=∠BAE+∠OEA=60°，

在△BOE中，∠B=30°，

∴∠OEB=180°-∠B-∠BOE=90°，

∴OE⊥BC，

∵點E在⊙O上，

∴BC是⊙O的切線；

（2）如圖2，

∵∠B=∠BAE=30°，

∴∠AEC=∠B+∠BAE=60°，

在Rt△ACE中，AC=3，sin∠AEC=，

∴AE=，

連接DE，∵AD是⊙O的直徑，

∴∠AED=90°，

在Rt△ADE中，∠BAE=30°，cos∠DAE=，

∴AD=，

∴⊙O的半徑r=AD=2；

（3）以A、O、E、F為頂點的四邊形是菱形，理由：如圖3，

在Rt△ABC中，∠B=30°，

∴∠BAC=60°，

連接OF，∴OA=OF，

∴△AOF是等邊三角形，

∴OA=AF，∠AOF=60°，

連接EF，OE，

∴OE=OF，

∵∠OEB=90°，∠B=30°，

∴∠AOE=90°+30°=120°，

∴∠EOF=∠AOE-∠AOF=60°，

∵OE=OF，

∴△OEF是等邊三角形，

∴OE=EF，

∵OA=OE，

∴OA=AF=EF=OE，

∴四邊形OAFE是菱形．