Question

【題目】（探究與證明）

在正方形ABCD中，G是射線AC上一動點（不與點A、C重合），連BG，作BH⊥BG，且使BH＝BG，連GH、CH．

（1）若G在AC上（如圖1），則：①圖中與△ABG全等的三角形是　 　．

②線段AG、CG、GH之間的數量關系是　 　．

（2）若G在AC的延長線上（如圖2），那么線段AG、CG、BG之間有怎樣的數量關系？寫出結論并給出證明；

（應用）（3）如圖3，G在正方形ABCD的對角線CA的延長線上，以BG為邊作正方形BGMN，若AG＝2，AD＝4，請直接寫出正方形BGMN的面積．

Answer 1

【答案】（1）①△CBH，②AG2+CG2＝GH 2（2）20+8

【解析】

探究與證明（1）①由題意可得AB＝BC，BG＝BH，∠ABG＝∠CBH 可證△ABG≌△BCH

②由△ABG≌△BCH可得AG＝CH，∠ACH＝90° 可得AG、CG、GH之間的數量關系．

（2）連接CH，可證△ABG≌△BCH，可得△CHG是直角三角形，則AG2+CG2＝GH2，且HG2＝BG2+BH2＝2BG2，可得線段AG、CG、BG之間．

應用：（3）連接BD交AC于O，由正方形ABCD可得AC⊥BD，AO＝BO＝CO＝2，則根據正方形GBMN的面積＝BG2＝GO2+BO2．可求正方形GBMN的面積．

解：探究與證明：（1）①△CBH，②AG2+CG2＝GH 2

理由如下：

∵ABCD是正方形

∴AB＝CB，∠ABC＝90°，∠BAC＝∠BCA＝45°

又∵GB⊥BH

∴∠ABG＝∠CBH且BG＝BH，AB＝BC

∴△ABG≌△BCH

∴∠BAC＝∠BCH＝45°，AG＝CH

∴∠GCH＝90°

在Rt△GCH中，CH2+CG2＝GH 2

∴AG2+CG2＝GH 2

（2）

如圖2，連CH

∵四邊形ABCD是正方形

∴∠ABC＝90°，AB＝BC

∵∠GBH＝90°

∴∠ABC+∠GBC＝∠GBH+∠GBC

即：∠ABG＝∠CBH

又∵BH＝BG

∴△ABG≌△CBH

∴AG＝CH，∠BCH＝∠BAC＝45°

∴∠ACH＝∠ACB+∠BCH＝45°+45°＝90°

∴AG⊥CH

∴CH2+CG2＝GH 2

∴AG2+CG2＝GH2

∵HG2＝BG2+BH2＝2BG2

∴AG2+CG2＝2BG2

應用：（3）如圖連接BD交AC于O

∵四邊形ABCD 是正方形，AD＝4，

∴AC＝4，BO＝AO＝DO＝CO＝2，AC⊥BD，

∴BG2＝GO2+BO2，

∵S正方形GBNM＝BG2＝GO2+BO2＝（2+2）2/span>+（2）2＝20+8.